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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 16c

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x y   i + 4 x 2   j + y z   k   ,

S é a superfície z = x e y   ,     0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1   , com orientação para cima.

Passo 1

Galera, aqui temos z = g x ,   y = x e y , e então podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral, dado que S tem orientação para cima:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

onde F = P   i + Q   j + R   k = x y   i + 4 x 2   j + y z   k . Então,

∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A = ∫ ∫ D - x y e y - 4 x 2 x e y + y z d A

∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A = ∫ ∫ D - x y e y - 4 x 3 e y + y z d A

Passo 2

Além disso, teremos D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1 } , e devemos substituir z = x e y   :

∫ ∫ D - x y e y - 4 x 3 e y + y z d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ - x y e y - 4 x 3 e y + x y e y ]   d y   d x

∫ ∫ D - x y e y - 4 x 3 e y + y z d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ - 4 x 3 e y ]   d y   d x

∫ ∫ D - x y e y - 4 x 3 e y + y z d A = - x 3 0 1 e y 0 1 = - 1 e - 1 = 1 - e

Resposta

1 - e

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