Calcule a integral de superfície

∬ S 2 x 2 + y   d S

Onde S é a parte do parabolóide hiperbólico 4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1 dentro do parabolóide y = x 2 + 3 z 2 .

Passo 1

A questão já quer nos assustar falando de paraboloide hiberbólico e sei lá mais o que, mas fica tranquilo que não tem mistério não, é só seguir o passo-a-passo!

Primeiro temos uma integral de superfície escalar, então só temos a opção de usar a fórmula:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f φ u , v ∙ N → u , v d u d v

Agora só falta entender melhor essa superfície ai, pra tentarmos encontrar uma parametrização boa e calcularmos o normal.

Passo 2

O parabolóide hiperbólico é aquela famosa “sela de cavalo”, mas essa aqui está centrada em y , então fica ainda mais estranha, vamos ver:

Não ajuda muito fazermos nenhuma parametrização clássica, então vamos usar a explícita mesmo, mas em y , porque ele é o mais fácil de isolar:

y = 1 4 - x 2 + z 2

E a parametrização fica:

S : φ → x , z = x , 1 4 - x 2 + z 2 , z

Com o domínio sendo a projeção no plano x z da interseção com o parabolóide:

1 4 - x 2 + z 2 = x 2 + 3 z 2

⇒ 2 x 2 + 2 z 2 = 1 4

⇒ x 2 + z 2 = 1 8

O que parece relativamente tranquilo.

Agora vamos ver o vetor normal!

Passo 3

Como temos a parametrização explícita, não precisamos fazer conta nenhuma, é só lembrar que, se y = f x , z :

N → x , z = - ∂ y ∂ x ,   1 , - ∂ y ∂ z = 2 x , 1 , - 2 z

Então tirando o módulo, vamos ter:

N → x , z = 2 x 2 + 1 2 + - 2 z 2 = 4 x 2 + 4 z 2 + 1

Agora é só jogar na fórmula!

Passo 4

Já temos tudo o que precisamos pra fazer:

∬ D f φ x , z ∙ N → x , z d x d z = ∬ D 2 x 2 + 1 4 - x 2 + z 2 4 x 2 + 4 z 2 + 1 d x d z

Calma! Eu sei que parece uma conta bizarra, mas vai tudo simplificar, quer ver?

⇒ ∬ D x 2 + z 2 + 1 4 2 x 2 + z 2 + 1 4 d x d z

Opa! Agora parece que vai!

⇒ 2 ∬ D x 2 + z 2 + 1 4 d x d z

Agora chegamos numa integral dupla molezinha, é só partir pro abraço!

Passo 5

Vamos lembrar que nosso domínio era:

D :   x 2 + z 2 = 1 8

Então coordenadas polares parece uma ótima ideia, né? Não tem muita diferença, mas como aqui temos z , vamos fazer:

x = r cos ⁡ θ

z = r sen ⁡ θ

J = r

E o domínio vai ser, simplesmente:

0 ≤ θ ≤ 2 π ,         0 ≤ r ≤ 1 8

Então, vamos ter:

2 ∬ D x 2 + z 2 + 1 4 d x d z = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 2 + 1 4 r   d r d θ

⇒ 2 ∙ θ │ 0 2 π ∙ r 4 4 │ 0 1 8 + r 2 8 │ 0 1 8

⇒ 4 π 1 4 ∙ 8 2 + 1 8 ∙ 8 = π 1 64 + 4 64 = 5 π 64

Um valor meio estranho, mas nada dos mais bizarros também.

Resposta

5 π 64

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