Calcule a integral de superfície.

∬ x + y + z d S

S é o paralelogramo com as equações paramétricas x = u + v ,   y = u - v ,   z = 1 + 2 u + v ,   0 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ 1 .

Passo 1

Fala galera, bora resolver o nosso exercício?

Para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x + y + z

E queremos escrever a seguinte integral

∬ f x , y , z d S = ∬ f r u , v r u × r v d A

Encontrando a função parametrizada, temos:

r u , v = u + v i + u - v j + 1 + 2 u + v k

Precisamos achar as derivadas parciais de r ( u , v ) . Assim,

r u = i + j + 2 k

r v = i - j + k

Calculando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais, temos:

r u × r v = i j k 1 1 2 1 - 1 1 = 1 + 2 i + 2 - 1 j + - 1 - 1 k = 3 i + j - 2 k

O módulo é igual a:

r u × r v = 14

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 ∫ 0 1 4 u + 1 + v 14 d v d u

∬ f x , y , z d S = 14 ∫ 0 2 4 u + 1 + v 2 2 0 1 d u

∬ f x , y , z d S = 14 ∫ 0 2 4 u + 1 + 1 2 d u

Estamos quase lá!

∬ f x , y , z d S = 14 4 u 2 2 + 3 2 u 0 2

∬ f x , y , z d S = 14 2 2 2 + 3 2 2 = 11 14

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 11 14

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