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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 15c

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y 2   d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima do plano x y .

Passo 1

Galera, nesse caso podemos olhar z como uma função de x e y , pois

x 2 + y 2 + z 2 = 4 ⇒ z = ± 4 - x 2 - y 2

Porém, como a superfície está acima do plano x y , temos z ≥ 0 e podemos considerar somente a solução positiva:

z x ,   y = 4 - x 2 - y 2

Então, podemos escrever a integral assim:

∫ ∫ S   y 2   d S = ∫ ∫ D   y 2 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

∫ ∫ S   y 2   d S = ∫ ∫ D   y 2 1 + - x 4 - x 2 - y 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 2   d A

∫ ∫ S   y 2   d S = ∫ ∫ D   y 2 4 - x 2 - y 2 + x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2   d A = ∫ ∫ D   y 2 2 4 - x 2 - y 2   d A

onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 2

Show! Agora vamos usar coordenadas polares para tentar resolver a integral:

∫ ∫ D   y 2 2 4 - x 2 - y 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   s e n   θ 2 2 4 - r 2   r   d r   d θ

∫ ∫ D   y 2 2 4 - x 2 - y 2   d A = ∫ 0 2 π 2   s e n 2   θ   d θ ∫ 0 1 r 2 r 4 - r 2   d r

Agora o bicho pega na hora de fazer essa integralzinha em r rsrs

Passo 3

Vamo focar nela rapidinho

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2  

Pra sumir com essa raiz vamos usar a seguinte substituição

u = 4 - r 2 → r 2 = 4 - u

De forma que os nossos limites de integração serão

r = 0 → u = 4

r = 1 → u = 3

E o diferencial de u será

d u = - 2 r d r → r d r = - d u 2

Então a nossa integralzinha vira

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = ∫ 4 3 4 - u - d u 2 u 1 / 2 = ∫ 4 3 u 1 / 2 2 - 2 u - 1 / 2 d u

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = 2 3 u 3 / 2 2 - 2 ⋅ 2 u 1 / 2 4 3 = 1 3 3 3 - 4 4 - 4 3 - 4

(lembrando que u 3 / 2 = u u )

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = 3 - 8 3 - 4 3 + 8 = 16 3 - 3 3

Passo 4

Já a integral angular fica

∫ 0 2 π 2   s e n 2   θ d θ = θ - s e n 2 θ 2 0 2 π = 2 π

Juntando isso tudo ficamos com

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = 2 π 16 3 - 3 3

Resposta

2 π 16 3 - 3 3

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