Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 113123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 19

( Cap. 16.7- Exercício 19) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S z + x 2 y d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que está entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante

Passo 1

Respira e vamos pra mais uma rs!

A nossa questão deseja saber qual é a integral de superfície S , bom primeiro vamos relembrar a fórmula que mais utilizamos para resolver essas questões:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

Geralmente ao iniciar a resolução, o primeiro passo é a parametrização caso a questão não traga as equações nesse formato. Nesse caso, a questão não nos deu as equações parametrizadas. Então deve-se primeiro realizar esse procedimento para depois aplicar na nossa fórmula.

Passo 2

Pessoal, vamos ter S dado por:

r u , v = u i + c o s v j + s e n v k , 0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ π 2

Então,

r u × r v = i + 0 j + 0 k × 0 i − s e n v j + c o s v k = − c o s v j − s e n v j

Agora só falta encontrar o módulo,

r u × r v = c o s 2 v + s e n 2 v = 1

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S z + x 2 y d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 s e n v + u 2 c o s v 1 d u d v

Passo 3

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 s e n v + u 2 c o s v d u d v = ∫ 0 π 2 u s e n v + u 3 3 c o s v 0 3 d v = ∫ 0 π 2 3 s e n v + 9 c o s v d v = − 3 c o s v + 9 s e n v 0 π 2 = 0 + 9 + 3 − 0 = 12

Tudo ok? Pessoal?

Resposta

12

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1