Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 152123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UTFPR, Londrina, Cálculo 3, Provas de C3 - Prof Marcele Tavares - AV1 - 2023.1, Questão 3.ii

(ii) Escolha uma das estratégias para resolver o ∫ C F d r .

Passo 1

Primeiro vamos começar parametrizando nossa região C,

x   = 3 cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ θ

Como iremos percorrer toda a nossa elipse, temos que 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Agora iremos calcular r → ( θ ) :

r → θ = d 3 cos ⁡ θ d θ , d ( 2 sin ⁡ θ ) d θ = ( - 3 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ )

Aplicando a parametrização

F x θ ,   y θ = ( 27 cos 3 ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ , 2 sin ⁡ θ ( 9 cos 2 ⁡ θ ) + 8 sin 3 ⁡ θ + 9 cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora substituído na nossa integral,

∫ 0 2 π ( 27 cos 3 ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ , 2 sin ⁡ θ ( 9 cos 2 ⁡ θ ) + 8 sin 3 ⁡ θ + 9 cos ⁡ θ ) ∙ - 3 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ d θ

Fazendo o produto escalar

= - 81 cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ - 36 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + 36 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ + 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ + 18 cos 2 ⁡ θ

= 18 cos 2 ⁡ θ - 45 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora partindo para realmente integrarmos

∫ 0 2 π 18 cos 2 ⁡ θ - 45 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π 18 cos 2 ⁡ θ d θ - ∫ 0 2 π 45 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ d θ - ∫ 0 2 π 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 18 π - 0 - 0

= 18 π

Resposta

= 18 π

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1