Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 155123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 18

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 + y 2 + z ²

onde S é a porção do plano z = y + 4 interior ao cilindro x ² + y ² = 4 .

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Parametrizar um plano, que tem uma equação explícita, pode ser feito utilizando a parametrização explícita...

x = x

y = y

z = y + 4

Com uma notação um pouco mais gentil...

r → x , y = x ,   y ,   y + 4

Passo 3

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z ²

Pelos termos da parametrização...

x = x

y = y

z = y + 4

Logo...

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z ²

f r → x , y = x 2 + y 2 + y + 4 ²

Passo 4

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → x , y ∂ x × ∂ r → x , y ∂ x

Mas como estamos utilizando uma parametrização como gráfico de função...

z = y + 4

Podemos calcular N → pelo bizu...

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y , 1

Então

N → = 0 , -   1 ,   1

Extraindo o módulo...

N → = 0 2 + - 1 2 + 1 2   →

N → = 2

Então...

d S = 2   d x d y

Passo 5

Com isso, temos que achar o nosso intervalo de integração agora. O enunciado diz que é o interior de:

x 2 + y 2 = 4

Usando as coordenadas polares, vamos descobrir que:

x 2 + y 2 = r ²

Comparando com a anterior, vamos ver que:

r = 2

Logo podemos dizer que:

x = 2 c o s ( θ )

y = 2 s e n ( θ )

Além disso, vamos conseguir determinar os nossos intervalos de integração:

0 ≤ r ≤ 2

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 6

Voltando agora para a nossa integral do início:

∬ S   f x ,   y ,   z d S

∬ S   f x ,   y ,   z d S = ∬ D   x 2 + y 2 + y + 4 ²   2   d x d y

Fazendo as alterações e aplicando os intervalos de integração:

∬ D   x 2 + y 2 + y + 4 ²   2   d x d y = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 4 c o s ² ( θ ) + 4 s e n ² ( θ ) + 2 s e n ( θ ) + 4 ²   2   d r d θ

Arrumando:

∬ D   x 2 + y 2 + y + 4 ²   2   d x d y = 4 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 s e n 2 θ + 4 s e n θ + 5   d r d θ

Resolvendo a integral interna:

4 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 s e n 2 θ + 4 s e n θ + 5   d r d θ = 8 2 ∫ - π 2 π 2 s e n 2 θ + 4 s e n θ + 5 d θ

Show, agora resolvendo a segunda integral:

8 2 ∫ - π 2 π 2 s e n 2 θ + 4 s e n θ + 5 d θ = 8 2 11 2 θ - s e n 2 θ 4 + 4 cos ⁡ θ - π 2 π 2

Aplicando os limites de integração:

8 2 11 2 θ - s e n 2 θ 4 + 4 cos ⁡ θ - π 2 π 2 = 8 2 11 π 4 - - 11 π 4 = 44 2 π

Resposta

44 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1