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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 19

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 d s

onde S é o hemisfério superior de x 2 + y 2 + z ² = a ² .

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bom, vamos começar parametrizando a nossa superfície S. Vamos começar analisando a fórmula dela:

x 2 + y 2 + z 2 = a ²

Reparem que temos aqui a fórmula de uma esfera de raio a . Então, vamos usar coordenadas esféricas:

x = r c o s θ s e n ( ω )

y = r s e n θ s e n ( ω )

z = r c o s ( ω )

Como o raio da nossa esfera é a , então:

x = a c o s θ s e n ( ω )

y = a s e n θ s e n ( ω )

z = a c o s ( ω )

Com uma notação um pouco mais gentil...

r → θ , ω = a c o s θ s e n ( ω ) ,   a s e n θ s e n ( ω ) ,   a c o s ( ω )

Passo 3

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = x 2

Pelos termos da parametrização...

x = a c o s θ s e n ( ω )

y = a s e n θ s e n ( ω )

z = a c o s ( ω )

Logo...

f r → θ , ω = a ² c o s ² θ s e n ² ( ω )

Passo 4

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ , ω ∂ θ × ∂ r → θ , ω ∂ ω

Vamos começar derivando:

∂ r → θ , ω ∂ θ = - a s e n θ s e n ω , acos ⁡ θ s e n ω , 0

∂ r → θ , ω ∂ ω = a c o s θ c o s ω ,   a s e n θ c o s ω , - a s e n ω

Calculando agora a norma:

N → = ∂ r → θ , ω ∂ θ × ∂ r → θ , ω ∂ ω = i j k - a s e n θ s e n ω acos ⁡ θ s e n ω 0 a c o s θ c o s ω   a s e n θ c o s ω - a s e n ω

N → = ( - a ² cos ⁡ θ s e n ² ω i + 0 j - a ² s e n ² θ s e n ω c o s ω k ) - ( a ² c o s ² θ s e n ω c o s ω k + 0 i + a ² s e n θ s e n ² ω j )

N → = ( - a ² cos ⁡ θ s e n ² ω i - a ² s e n θ s e n ² ω j - a ² s e n ² θ s e n ω c o s ω k - a ² c o s ² θ s e n ω c o s ω k )

N → = ( - a ² cos ⁡ θ s e n ² ω i - a ² s e n θ s e n ² ω j - a ² s e n ω c o s ω k )

Então

Extraindo o módulo...

N → = ( - a ² cos ⁡ θ s e n ² ω ) ²   + ( - a ² s e n θ s e n ² ω ) ² + ( - a 2 s e n ω c o s ω ) ²  

N → = a 4 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ ω 4 + a 4 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ω 4 + a 4 sen ⁡ ω 2 cos ⁡ ω 2  

N → = a ² sen ⁡ ω 2 =   a ² sen ⁡ ω

Então...

d S = a ² sen ⁡ ω d ω d θ

Passo 5

Com isso, temos que achar o nosso intervalo de integração agora. Pensando na nossa esfera, vamos ter:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ω ≤ π 2

Passo 6

Voltando agora para a nossa integral do início:

∬ S   f x ,   y ,   z d S

∬ S   x 2 d s = ∬ D   a ² c o s ² θ s e n ² ( ω )   a ² sen ⁡ ω d ω d θ

Lembrando que o nosso a é o raio, logo podemos considerar ele como constante:

∬ S   x 2 d s = a ² ∬ D   c o s ² θ s e n ³ ( ω ) d ω d θ

Aplicando os limites de Integração:

∬ S   x 2 d s = a ² ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 c o s ² θ s e n ³ ( ω ) d ω d θ

Como vamos começar pela variação em ω , tudo o que não for referente, vamos considerar como constante, então:

∬ S   x 2 d s = a ² ∫ 0 2 π c o s ² θ ∫ 0 π 2 s e n ³ ( ω ) d ω d θ

Vamos então calcular primeiro a integral de dentro:

∫ 0 π 2 s e n ³ ( �� ) d ω = ( - cos ⁡ ω + c o s 3 ω 3 ) 0 π 2

∫ 0 π 2 s e n ³ ( ω ) d ω = 2 3

Logo a nossa integral agora fica:

∬ S   x 2 d s = a ² ∫ 0 2 π c o s ² θ 2 3 d θ

∬ S   x 2 d s = 2 a 2 3 ∫ 0 2 π c o s ² θ d θ

Integrando a nossa última integral:

∬ S   x 2 d s = 2 a 2 6 θ + s e n 2 θ 2 0 2 π

∬ S   x 2 d s = a 2 3 2 π + s e n 4 π 2

∬ S   x 2 d s = 2 a 2 π 3 + a ² s e n 4 π 6

Lembrando que o nosso a é o valor do Raio.

Resposta

∬ S   x 2 d s = 2 a 2 π 3 + a ² s e n 4 π 6

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