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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 20

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   z x 2 + y ² d s

onde S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z ² = 9 situada entre os planos z = 1 e z = 2

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bom, vamos começar parametrizando a nossa superfície S. Vamos começar analisando a fórmula dela:

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Reparem que temos aqui a fórmula de uma esfera de raio 3 . Então, vamos usar coordenadas esféricas:

x = r c o s θ s e n ( ω )

y = r s e n θ s e n ( ω )

z = r c o s ( ω )

Como o raio da nossa esfera é 3 , então:

x = 3 c o s θ s e n ( ω )

y = 3 s e n θ s e n ( ω )

z = 3 c o s ( ω )

Com uma notação um pouco mais gentil...

r → θ , ω = 3 c o s θ s e n ( ω ) ,   3 s e n θ s e n ( ω ) ,   3 c o s ( ω )

Passo 3

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = z x 2 + y ²

Pelos termos da parametrização...

x = 3 c o s θ s e n ( ω )

y = 3 s e n θ s e n ( ω )

z = 3 c o s ( ω )

Logo...

f r → θ , ω = 3 c o s ( ω ) 9 c o s ² θ s e n ² ( ω ) + 9 s e n ² θ s e n ² ( ω )

f r → θ , ω = 9 s e n ( ω ) c o s ( ω )

Passo 4

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ , ω ∂ θ × ∂ r → θ , ω ∂ ω

Vamos começar derivando:

∂ r → θ , ω ∂ θ = - 3 s e n θ s e n ω , 3 cos ⁡ θ s e n ω , 0

∂ r → θ , ω ∂ ω = 3 c o s θ c o s ω ,   3 s e n θ c o s ω , - 3 s e n ω

Calculando agora a norma:

N → = ∂ r → θ , ω ∂ θ × ∂ r → θ , ω ∂ ω = i j k - 3 s e n θ s e n ω 3 cos ⁡ θ s e n ω 0 3 c o s θ c o s ω   3 s e n θ c o s ω - 3 s e n ω

N → = ( - 9 cos ⁡ θ s e n ² ω i + 0 j - 9 s e n ² θ s e n ω c o s ω k ) - ( 9 c o s ² θ s e n ω c o s ω k + 0 i + 9 s e n θ s e n ² ω j )

N → = ( - 9 cos ⁡ θ s e n ² ω i - 9 s e n θ s e n ² ω j - 9 s e n ² θ s e n ω c o s ω k - 9 c o s ² θ s e n ω c o s ω k )

N → = ( - 9 cos ⁡ θ s e n ² ω i - 9 s e n θ s e n ² ω j - 9 s e n ω c o s ω k )

Então

Extraindo o módulo...

N → = ( - 9 cos ⁡ θ s e n ² ω ) ²   + ( - 9 s e n θ s e n ² ω ) ² + ( - 9 s e n ω c o s ω ) ²  

N → = 81 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ ω 4 + 81 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ω 4 + 81 sen ⁡ ω 2 cos ⁡ ω 2  

N → = 9 sen ⁡ ω 2 = 9 sen ⁡ ω

Então...

d S = 9 sen ⁡ ω d ω d θ

Passo 5

Com isso, temos que achar o nosso intervalo de integração agora. Pensando na nossa esfera, vamos ter:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Ok, para acharmos ω temos que analisar o intervalo dos valores de z :

P l a n o   z = 2 ≤ ω ≤ P l a n o   z = 1

Substituindo os valores de z pelo termo da parametrização:

z = 3 c o s ( ω )

z = 2 → 2 = 3 cos ⁡ ω → cos ⁡ ω = 2 3

z = 1 → 1 = 3 cos ⁡ ω → cos ⁡ ω = 1 3

Como não temos um valor exato de ângulo para esse, vamos usar o termo a r c :

arccos ⁡ 2 3 ≤ ω ≤ arccos ⁡ 1 3

Passo 6

Voltando agora para a nossa integral do início:

∬ S   f x ,   y ,   z d S

∬ S   z x 2 + y ² d s = ∬ D   9 s e n ( ω ) c o s ( ω ) 9 sen ⁡ ω d ω d θ

Vamos dar uma arrumada:

∬ S   z x 2 + y ² d s = 81 ∬ D   s e n ² ( ω ) c o s ( ω ) d ω d θ

Aplicando os limites de Integração:

∬ S   z x 2 + y ² d s = 81 ∫ 0 2 π ∫ arccos ⁡ 2 3 arccos ⁡ 1 3 s e n ² ( ω ) c o s ( ω ) d ω d θ

Vamos então calcular primeiro a integral de dentro:

∫ arccos ⁡ 2 3 arccos ⁡ 1 3 s e n ² ( ω ) c o s ( ω ) d ω = 1 3 s e n 3 ω arccos ⁡ 2 3 arccos ⁡ 1 3 = 0

∫ arccos ⁡ 2 3 arccos ⁡ 1 3 s e n ² ( ω ) c o s ( ω ) d ω = 1 3 s e n 3 arccos ⁡ 1 3 - s e n 3 arccos ⁡ 2 3

Logo a nossa integral agora fica:

∬ S   z x 2 + y ² d s = 81 ∫ 0 2 π ∫ arccos ⁡ 2 3 arccos ⁡ 1 3 s e n ² ( ω ) c o s ( ω ) d ω d θ

∬ S   z x 2 + y ² d s = 81 ∫ 0 2 π 1 3 s e n 3 arccos ⁡ 1 3 - s e n 3 arccos ⁡ 2 3 d θ

∬ S   z x 2 + y ² d s = 27 ∫ 0 2 π s e n 3 arccos ⁡ 1 3 - s e n 3 arccos ⁡ 2 3 d θ

Integrando a nossa última integral:

∬ S   z x 2 + y ² d s = 27 s e n 3 arccos ⁡ 1 3 - s e n 3 arccos ⁡ 2 3 θ 0 2 π

∬ S   z x 2 + y ² d s = 54 π s e n 3 arccos ⁡ 1 3 - s e n 3 arccos ⁡ 2 3

Resposta

∬ S   z x 2 + y ² d s = 54 π s e n 3 arccos ⁡ 1 3 - s e n 3 arccos ⁡ 2 3

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