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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 21

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   z ² d s

onde S é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 4 ,   p a r a   y ≥ 0 , compreendida entre os planos z = 0 e z = x + 3

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bom, vamos começar parametrizando a nossa superfície S. Vamos começar analisando a fórmula dela:

x 2 + y 2 = 4

Reparem que temos aqui a fórmula de um cilindro de raio 2 . Então, vamos usar coordenadas cilíndricas:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

Como o raio do nosso cilindro é 2, então:

x = 2 c o s θ

y = 2 s e n θ

z = z

Com uma notação um pouco mais gentil...

r → θ , z = 2 c o s θ , 2 s e n θ , z

Passo 3

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = z ²

Pelos termos da parametrização...

x = 2 c o s θ

y = 2 s e n θ

z = z

Logo...

f r → θ , z = z ²

Passo 4

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ , z ∂ θ × ∂ r → θ , z ∂ z

Vamos começar derivando:

∂ r → θ , z ∂ θ = - 2 s e n θ , 2 cos ⁡ θ , 0

∂ r → θ , z ∂ z = 0 , 0 , 1

Calculando agora a norma:

N → = ∂ r → θ , z ∂ θ × ∂ r → θ , z ∂ z = i j k - 2 s e n θ 2 cos ⁡ θ 0 0 0 1

N → = ( 2 cos ⁡ θ i + 0 j + 0 k ) - ( 0 k + 0 i - 2 s e n θ j )

N → = ( 2 cos ⁡ θ i + 2 s e n θ j + 0 k )

Então

Extraindo o módulo...

N → = ( 2 cos ⁡ θ ) ²   + ( 2 s e n θ ) ² + ( 0 ) ²  

N → = 4 cos ² ⁡ θ + 4 s e n ² θ  

N → = 2  

Então...

d S = 2 d z d θ

Passo 5

Com isso, temos que achar o nosso intervalo de integração agora. Pensando no nosso cilindro, é de se pensar numa circunferência completa ( 2 π ) . Porém, é dito no enunciado que y ≥ 0 , então vai ser somente metade:

0 ≤ θ ≤ π

Ok, para acharmos ω temos que analisar o intervalo dos valores de z :

0 ≤ z ≤ x + 3

Substituindo os valores de z pelo termo da parametrização:

z = x + 3 → z = 2 c o s θ + 3

Logo:

0 ≤ z ≤ 2 c o s θ + 3

Passo 6

Voltando agora para a nossa integral do início:

∬ S   f x ,   y ,   z d S

∬ S   z ² d s = ∬ D   z ² 2 d z d θ = 2 ∬ D   z ² d z d θ

Aplicando os limites de Integração:

2 ∬ D   z ² d z d θ = 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 c o s θ + 3 z ² d z d θ

Vamos então calcular primeiro a integral de dentro:

∫ 0 2 c o s θ + 3 z ² d z d θ = 1 3 z ³ 0 2 c o s θ + 3

∫ 0 2 c o s θ + 3 z ² d z d θ = 1 3 ( 2 c o s θ + 3 ) 3

Logo a nossa integral agora fica:

2 ∬ D   z ² d z d θ = 2 3 ∫ 0 π ( 2 c o s θ + 3 ) 3 d θ

2 ∬ D   z ² d z d θ = 2 3 ∫ 0 π 8 c o s ³ θ + 36 c o s ² θ + 54 c o s θ + 27 d θ

Resolvendo:

2 ∬ D   z ² d z d θ = 2 3 45 θ + 62 s e n θ - 8 3 s e n 3 θ + 9 s e n ( 2 θ ) 0 π

2 ∬ D   z ² d z d θ = 2 3 45 π = 30 π

Resposta

∬ S   z ² d s = 30 π

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