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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 14

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

14. S é dada pela equação σ u , v = u , v , u 2 + v 2 e se encontra sobre a região 1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 9 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular a área da superfície dada por σ u , v = u , v , u 2 + v 2 que está limitada pela região 1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 9 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas polares já que a região que limita nossa superfície é uma região polar dada por 1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 9 ... pra isso fazemos u = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Portanto, temos que

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , r 2

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a r ...

σ r = ∂ r cos ⁡ θ ∂ r , ∂ r sin ⁡ θ ∂ r , ∂ r 2 ∂ r

σ r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 2 r

Agora com relação a θ ...

σ θ = ∂ r cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ r sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ r 2 ∂ θ

σ θ = - r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

Calculando o produto vetorial entre σ r e σ θ ...

N → = σ r × σ θ = i j k cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 r - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ

Simplificando...

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin ⁡ θ , r

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ 2 + - 2 r 2 sin ⁡ θ 2 + r 2

N → = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + 4 r 4 sin 2 ⁡ θ + r 2

N → = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2

Novamente fazemos cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

N → = 4 r 4 + r 2

N → = r 4 r 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Como vimos anteriormente que u 2 + v 2 = r 2 , então a partir da região que limita nossa superfície 1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 9 , temos

1 ≤ r 2 ≤ 9

1 ≤ r ≤ 3

E como θ não tem nenhuma restrição, pelas coordenadas polares temos que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Dessa forma d A = d r d θ .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 π ∫ 1 3 r 4 r 2 + 1 d r d θ

Integrando com relação a r pelo método de substituição...

∫ r 4 r 2 + 1 d r = 4 r 2 + 1 3 2 12

Aplicando os limites de integração

∫ 1 3 r 4 r 2 + 1 d r = 4 3 2 + 1 3 2 12 - 4 1 2 + 1 3 2 12

∫ 1 3 r 4 r 2 + 1 d r = 37 3 2 - 5 3 2 12

Integrando o resultado em função de θ .

∫ 37 3 2 - 5 3 2 12 d θ = 37 3 2 - 5 3 2 12 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 37 3 2 - 5 3 2 12 d θ = 37 3 2 - 5 3 2 12 2 π - 37 3 2 - 5 3 2 12 0

∫ 0 2 π 37 3 2 - 5 3 2 12 d θ = 37 3 2 - 5 3 2 6 π

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

A = 37 3 2 - 5 3 2 6 π

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