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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 9

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

09. S é a parte da superfície descrita por   u , v = u , v , 5 - u - v , situada acima da região circular u 2 + v 2 ≤ 9 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a área da superfície dada por   u , v = u , v , 5 - u - v que está acima da região u 2 + v 2 ≤ 9 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, como a regi��o que limita nossa superfície é circular, podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cilíndricas que já sabemos... fazemos u = r cos ⁡ θ e v = r sin ⁡ θ .

Portanto, temos que

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , 5 - r cos ⁡ θ - r sin �� θ

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a r ...

σ r = ∂ r cos ⁡ θ ∂ r , ∂ r sin ⁡ θ ∂ r , ∂ 5 - r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ ∂ r

σ r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , - cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Agora com relação a θ ...

σ θ = ∂ r cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ r sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ 5 - r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ ∂ θ

σ θ = - r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ - r cos ⁡ θ

Calculando o produto vetorial entre σ r e σ θ ...

N → = σ r × σ θ = i j k cos ⁡ θ sin ⁡ θ - cos ⁡ θ - sin ⁡ θ - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ - r cos ⁡ θ

N → = r sin 2 ⁡ θ - r sin ⁡ θ cos ⁡ θ + r cos 2 ⁡ θ + r cos ⁡ θ sin ⁡ θ , r sin ⁡ θ cos ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ - r cos ⁡ θ sin ⁡ θ + r cos 2 ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ

Podemos simplificar como

N → = r sin 2 ⁡ θ + r cos 2 ⁡ θ , r sin 2 ⁡ θ + r cos 2 ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ

N → = r sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ , r sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

N → = r , r , r

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = r 2 + r 2 + r 2

N → = 3 r 2

N → = 3 r

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

A princípio podemos definir θ em que, como queremos a região acima de u 2 + v 2 ≤ 9 , conseguimos imaginar que θ é definido em 0 ≤ θ ≤ 2 π .

já como u 2 + v 2 = 9 no limite da superfície então nossa região é definida em 0 ≤ r ≤ 3 .

Dessa forma d A = d r d θ .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 π ∫ 0 3 3 r d r d θ

Integrando com relação a r ...

∫ 3 r d r = 3 r 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 3 3 r d r = 3 3 2 2 - 3 0 2 2

∫ 0 3 3 r d r = 9 3 2

Integrando o resultado em função de θ .

∫ 9 3 2 d θ = 9 3 2 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 9 3 2 d θ = 9 3 2 2 π - 9 3 2 0

∫ 0 2 π 9 3 2 d θ = 9 3 π

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A = 9 3 π

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