Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 143123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 12

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

12. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , interna ao cone z = x 2 + y 2   .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a área da superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está dentro do cone z = x 2 + y 2 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, como nossa região é uma superfície esférica, podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas esféricas mesmo... pra isso fazemos x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ e z = r cos ⁡ ϕ .

Portanto, temos que

σ ( ϕ , θ ) = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ϕ

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a ϕ ...

σ ϕ = ∂ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∂ ϕ , ∂ r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ∂ ϕ , ∂ r cos ⁡ ϕ ∂ ϕ

σ ϕ = r cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , r cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ , - r s in ⁡ ϕ

Agora com relação a θ ...

σ θ = ∂ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ r cos ⁡ ϕ ∂ θ

σ θ = - r sin ⁡ ϕ s in ⁡ θ , r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 0

Calculando o produto vetorial entre σ ϕ e σ θ ...

N → = σ ϕ × σ θ = i j k r cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ r cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ - r sin ⁡ ϕ - r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 0

N → = r sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , r sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ

Simplificando...

N → = r sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , r sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

N → = r sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , r sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = r sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + r sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 2

N → = r 2 sin 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ

N → = r 2 sin 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ

Novamente fazemos cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

N → = r 2 sin 4 ⁡ ϕ + r 2 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ

N → = r 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

Agora para sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

N → = r 2 sin 2 ⁡ ϕ

N → = r sin ⁡ ϕ

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

A partir da equação da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 podemos perceber que r = 1 e substituindo z = x 2 + y 2 na equação da esfera, podemos obter as restrições de ϕ e θ .

x 2 + y 2 + z 2 = 1 → x 2 + y 2 + x 2 + y 2 2 = 1

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1

2 x 2 + 2 y 2 = 1

Se x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , então

2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + 2 r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 = 1

2 r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 2 r 2 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ = 1

2 r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

2 1 2 sin 2 ⁡ ϕ = 1

sin 2 ⁡ ϕ = 1 2 → sin ⁡ ϕ = 1 2

ϕ = sin - 1 ⁡ 1 2 = π 4

Portanto podemos ver que ϕ varia em 0 ≤ ϕ ≤ π 4 e como não há restrições em θ , podemos dizer que 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Dessa forma d A = d ϕ d θ .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 sin ⁡ ϕ d ϕ d θ

Integrando com relação a ϕ ...

∫ sin ⁡ ϕ d ϕ = - cos ⁡ ϕ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 4 sin ⁡ ϕ d ϕ = - cos ⁡ π 4 - - cos ⁡ 0

∫ 0 π 4 sin ⁡ ϕ d ϕ = - 2 2 - - 1

∫ 0 π 4 sin ⁡ ϕ d ϕ = 2 - 2 2

Integrando o resultado em função de θ .

∫ 2 - 2 2 d θ = 2 - 2 2 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 2 - 2 2 d θ = 2 - 2 2 2 π - 2 - 2 2 0

∫ 0 2 π 2 - 2 2 d θ = 2 - 2 π

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A = 2 - 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1