UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 10
Nos exercícios , calcule a área da superfície .
10. é a porção do plano que está no primeiro octante.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema queremos calcular a área da superfície do plano que está no primeiro octante.
Lembra como podemos fazer isso? 😬
Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por
Onde pode ser obtido como e é o vetor normal à superfície...
Para obter o vetor normal podemos derivar a função vetorial parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso, como a região que limita nossa superfície é cartesiana, podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cartesianas mesmo... continua sendo , sendo e podemos isolar em um lado da igualdade e defini-lo em função de e .
Portanto, temos que
Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando em relação a ...
Agora com relação a ...
Calculando o produto vetorial entre e ...
Calculando o modulo desse vetor, temos
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Só nos resta saber como vamos definir ...
Pra isso podemos olhar para a projeção da nossa região no plano , ou seja, podemos olhar de cima e definir como e varia...
Pra isso podemos fazer
Com isso podemos definir que varia no intervalo .
Mas fazendo agora , temos
Vemos que varia no intervalo
Dessa forma .
Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos
Integrando com relação a ...
Aplicando os limites de integração
Integrando o resultado em função de .
Aplicando os limites de integração
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
