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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 5

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

05. S é a superfície representada por σ ( u , v ) = u 2 , u v , v 2 2 , para 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular a área da superfície dada por σ ( u , v ) = u 2 , u v , v 2 2 limitada entre 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso temos que   σ ( u , v ) = u 2 , u v , v 2 2 .

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a u ...

σ u = ∂ u 2 ∂ u , ∂ u v ∂ u , ∂ v 2 2 ∂ u = 2 u , v , 0

Agora com relação a v ...

σ v = ∂ u 2 ∂ v , ∂ u v ∂ v , ∂ v 2 2 ∂ v = 0 , u , v

Calculando o produto vetorial entre σ u e σ v ...

N → = σ u × σ v = i j k 2 u v 0 0 u v = v 2 i - 2 u v j + 2 u 2 k

N → = v 2 , - 2 u v , 2 u 2

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = v 2 2 + - 2 u v 2 + 2 u 2 2

N → = v 4 + 4 u 2 v 2 + 4 u 4

Simplificando...

N → = v 2 + 2 u 2 2

N → = v 2 + 2 u 2

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Pra isso vamos usar a informação de que nossa superfície é definida na região entre 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 .

Portanto, temos que d A = d u d v .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 1 ∫ 0 2 v 2 + 2 u 2 d u d v

Integrando com relação a u e aplicando os limites de integração...

∫ v 2 + 2 u 2 d u = u v 2 + 2 u 3 3

∫ 0 2 v 2 + 2 u 2 d u = 2 v 2 + 2 2 3 3 - 0 v 2 + 2 0 3 3

∫ 0 2 v 2 + 2 u 2 d u = 2 v 2 + 16 3

Integrando o resultado em função de v , chegamos em

∫ 2 v 2 + 16 3 d v = 2 v 3 3 + 16 v 3 = 2 v 3 + 16 v 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 2 v 2 + 16 3 d v = 2 1 3 + 16 1 3 - 2 0 3 + 16 0 3

∫ 0 1 2 v 2 + 16 3 d v = 6

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A = 6

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