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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 6

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

06. S é a superfície de uma esfera de raio R .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular a área da superfície esférica genérica de raio R .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas esféricas que já sabemos... fazemos x = R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ e z = R cos ⁡ ϕ .

Portanto, temos que   σ ( ϕ , θ ) = R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , R cos ⁡ ϕ .

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a ϕ ...

σ ϕ = ∂ R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∂ ϕ , ∂ R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ∂ ϕ , ∂ R cos ⁡ ϕ ∂ ϕ

σ ϕ = R cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , R cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ , - R s in ⁡ ϕ

Agora com relação a θ ...

σ θ = ∂ R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ R cos ⁡ ϕ ∂ θ

σ θ = - R sin ⁡ ϕ s in ⁡ θ , R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 0

Calculando o produto vetorial entre σ ϕ e σ θ ...

N → = σ ϕ × σ θ = i j k R cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ R cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ - R sin ⁡ ϕ - R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 0

N → = R 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , R 2 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , R 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + R 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ

Podemos simplificar como

N → = R 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , R 2 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , R 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

N → = R 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , R 2 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , R 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = R 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + R 2 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 + R 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 2

N → = R 4 sin 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + R 4 sin 4 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + R 4 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ

N → = R 4 sin 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + R 4 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ

Novamente temos cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

N → = R 4 sin 4 ⁡ ϕ + R 4 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ

N → = R 4 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

Agora com sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

N → = R 4 sin 2 ⁡ ϕ

Simplificando...

N → = R 2 sin ⁡ ϕ 2

N → = R 2 sin ⁡ ϕ

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Uma esfera completa é definida na região entre 0 ≤ ϕ ≤ π e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Portanto, temos que d A = d ϕ d θ .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 π ∫ 0 π R 2 sin ⁡ ϕ d ϕ d θ

Integrando com relação a ϕ ...

∫ R 2 sin ⁡ ϕ d ϕ = - R 2 cos ⁡ ϕ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π R 2 sin ⁡ ϕ d ϕ = - R 2 cos ⁡ π - - R 2 cos ⁡ 0

∫ 0 π R 2 sin ⁡ ϕ d ϕ = 2 R 2

Integrando o resultado em função de θ .

∫ 2 R 2 d θ = 2 θ R 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 2 R 2 d θ = 2 2 π R 2 - 2 0 R 2

∫ 0 2 π 2 R 2 d θ = 4 π R 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

A = 4 π R 2

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