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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 7

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

07. S é a superfície do cone z = x 2 + y 2 interna ao cilindro circular x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a área da superfície do cone dada por z = x 2 + y 2 que está dentro cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cilíndricas que já sabemos... fazemos x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Portanto, temos que   σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , z .

Mas como z = x 2 + y 2 , então

z = x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

z = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

z = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

z = r 2

z = r

Então a parametrização da nossa curva é dada por

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , r

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a r ...

σ r = ∂ r cos ⁡ θ ∂ r , ∂ r sin ⁡ θ ∂ r , ∂ r ∂ r

σ r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 1

Agora com relação a θ ...

σ θ = ∂ r cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ r sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ r ∂ θ

σ θ = - r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

Calculando o produto vetorial entre σ r e σ θ ...

N → = σ r × σ θ = i j k cos ⁡ θ sin ⁡ θ 1 - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0

N → = - r cos ⁡ θ , - r sin ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ

Podemos simplificar como

N → = - r cos ⁡ θ , - r sin ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

N → = - r cos ⁡ θ , - r sin ⁡ θ , r

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = - r cos ⁡ θ 2 + - r sin ⁡ θ 2 + r 2

N → = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2

N → = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2

Novamente temos cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

N → = r 2 + r 2

N → = 2 r 2

Simplificando...

N → = 2 r

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

A princípio podemos definir θ em que, como queremos a região interna ao cilindro, conseguimos imaginar que θ é definido em 0 ≤ θ ≤ 2 π .

já como r = z e nossa região é definida em z = x 2 + y 2 e a região é interna a x 2 + y 2 = 4 , então

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ r ≤ 2

Dessa forma d A = d r d θ .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r d r d θ

Integrando com relação a r ...

∫ 2 r d r = 2 r 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 2 r d r = 2 2 2 - 2 0 2

∫ 0 2 2 r d r = 4 2

Integrando o resultado em função de θ .

∫ 4 2 d θ = 4 2 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 4 2 d θ = 4 2 2 π - 4 2 0

∫ 0 2 π 4 2 d θ = 8 2 π

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A = 8 2 π

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