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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 8

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

08. S é a superfície do paraboloide z = x 2 + y 2 , situada abaixo do plano z = 1 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos calcular a área da superfície do cone dada por z = x 2 + y 2 que está abaixo do plano z = 1 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cilíndricas que já sabemos... fazemos x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Portanto, temos que   σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , z .

Mas como z = x 2 + y 2 , então

z = x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

z = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

z = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

z = r 2

Então a parametrização da nossa curva é dada por

σ ( r , θ ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , r 2

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a r ...

σ r = ∂ r cos ⁡ θ ∂ r , ∂ r sin ⁡ θ ∂ r , ∂ r 2 ∂ r

σ r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 2 r

Agora com relação a θ ...

σ θ = ∂ r cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ r sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ r 2 ∂ θ

σ θ = - r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

Calculando o produto vetorial entre σ r e σ θ ...

N → = σ r × σ θ = i j k cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 r - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ

Podemos simplificar como

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin ⁡ θ , r

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = - 2 r 2 cos ⁡ θ 2 + - 2 r 2 sin ⁡ θ 2 + r 2

N → = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + 4 r 4 sin 2 ⁡ θ + r 2

N → = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2

Novamente temos cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

N → = 4 r 4 + r 2

N → = r 4 r 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

A princípio podemos definir θ em que, como queremos a região abaixo de z = 1 , conseguimos imaginar que θ é definido em 0 ≤ θ ≤ 2 π .

já como z = r 2 e nossa região é definida em z = r 2 = 1 , então

0 ≤ r ≤ 1

Dessa forma d A = d r d θ .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 r 2 + 1 d r d θ

Integrando com relação a r pelo método de substituição...

∫ r 4 r 2 + 1 d r = 4 r 2 + 1 3 2 12

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 r 4 r 2 + 1 d r = 4 1 2 + 1 3 2 12 - 4 0 2 + 1 3 2 12

∫ 0 1 r 4 r 2 + 1 d r = 5 5 - 1 12

Integrando o resultado em função de θ .

∫ 5 5 - 1 12 d θ = 5 5 - 1 12 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 5 5 - 1 12 d θ = 5 5 - 1 12 2 π - 5 5 - 1 12 0

∫ 0 2 π 5 5 - 1 12 d θ = 5 5 - 1 π 6

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

A = 5 5 - 1 π 6

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