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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 11

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

11. S é a superfície do cilindro 2 z = x 2 , cortada pelos planos 2 y = x , y = 2 x e x = 2 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular a área da superfície 2 z = x 2 que está entre os planos 2 y = x , y = 2 x e x = 2 2 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, como a região que limita nossa superfície é cartesiana, podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cartesianas mesmo... x continua sendo x , y sendo y e z podemos isolar em um lado da igualdade e defini-lo em função de x .

2 z = x 2 → z = x 2 2

Portanto, temos que

σ ( x , y ) = x , y , x 2 2

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a x ...

σ x = ∂ x ∂ x , ∂ y ∂ x , ∂ x 2 2 ∂ x

σ x = 1 , 0 , x

Agora com relação a y ...

σ y = ∂ x ∂ y , ∂ y ∂ y , ∂ x 2 2 ∂ y

σ y = 0 , 1 , 0

Calculando o produto vetorial entre σ x e σ y ...

N → = σ x × σ y = i j k 1 0 x 0 1 0

N → = x , 0 , 1

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = x 2 + 0 2 + 1 2

N → = x 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Pra isso podemos olhar para a projeção da nossa região no plano x y , ou seja, podemos olhar de cima e definir como x e y varia...

Esboçando 2 y = x , y = 2 x e x = 2 2 no plano cartesiano, temos

Com isso podemos definir que y varia no intervalo x 2 ≤ y ≤ 2 x .

E vemos também que x varia no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 2

Dessa forma d A = d y d x .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 2 ∫ x 2 2 x x 2 + 1 d y d x

Integrando com relação a y ...

∫ x 2 + 1 d y = x 2 + 1 y

Aplicando os limites de integração

∫ x 2 2 x x 2 + 1 d y = x 2 + 1 2 x - x 2 + 1 x 2

∫ x 2 2 x x 2 + 1 d y = 2 x x 2 + 1 - x x 2 + 1 2

Integrando o resultado em função de x pelo método de substituição.

∫ 2 x x 2 + 1 - x x 2 + 1 2 d x = 2 x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 3 2 6

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 2 2 x x 2 + 1 - x x 2 + 1 2 d x = 2 2 2 2 + 1 3 2 3 - 2 2 2 + 1 3 2 6 - 2 0 2 + 1 3 2 3 - 0 2 + 1 3 2 6

∫ 0 2 2 2 x x 2 + 1 - x x 2 + 1 2 d x = 18 - 9 2 - 2 3 + 1 6

∫ 0 2 2 2 x x 2 + 1 - x x 2 + 1 2 d x = 13

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

A = 13

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