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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 13

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

13. S é a superfície plana de fronteira triangular com vértices em 2,0 , 0 , 0,3 , 0 e 0,0 , 2 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos calcular a área da superfície formada pelo triangulo de vértices 2,0 , 0 , 0,3 , 0 e 0,0 , 2 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Podemos começar obtendo a equação do plano que contém os três pontos dos vértices dados no enunciado...

A equação genérica do plano é dada por

a x + b y + c z = 1

Aplicando o ponto 2,0 , 0 ...

a 2 + b 0 + c 0 = 1 → a = 1 2

Aplicando o ponto 0,3 , 0 ...

a 0 + b 3 + c 0 = 1 → b = 1 3

E para o ponto 0,0 , 2

a 0 + b 0 + c 2 = 1 → c = 1 2

Logo, o plano que contêm nosso triangulo é dado por

x 2 + y 3 + z 2 = 1

3 x + 2 y + 3 z = 6

Nesse caso, como a região que limita nossa superfície é cartesiana, podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cartesianas mesmo... x continua sendo x , y sendo y e z podemos isolar em um lado da igualdade e defini-lo em função de x .

3 x + 2 y + 3 z = 6 → z = 2 - x - 2 3 y

Portanto, temos que

σ ( x , y ) = x , y , 2 - x - 2 3 y

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a x ...

σ x = ∂ x ∂ x , ∂ y ∂ x , ∂ 2 - x - 2 3 y ∂ x

σ x = 1 , 0 , - 1

Agora com relação a y ...

σ y = ∂ x ∂ y , ∂ y ∂ y , ∂ 2 - x - 2 3 y ∂ y

σ y = 0 , 1 , - 2 3

Calculando o produto vetorial entre σ x e σ y ...

N → = σ x × σ y = i j k 1 0 - 1 0 1 - 2 3

N → = 1 , 2 3 , 1

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = 1 2 + 2 3 2 + 1 2

N → = 22 9

N → = 22 3

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Pra isso podemos olhar para a projeção da nossa região no plano x y , ou seja, podemos olhar de cima e definir como x e y varia...

Esboçando o triângulo no plano cartesiano, temos

Com isso podemos definir que y varia no intervalo 0 ≤ y ≤ 3 - 3 2 x .

E vemos também que x varia no intervalo 0 ≤ x ≤ 2

Dessa forma d A = d y d x .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 2 x 22 3 d y d x

Integrando com relação a y ...

∫ 22 3 d y = 22 3 y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 3 - 3 2 x 22 3 d y = 22 3 3 - 3 2 x - 22 3 0

∫ 0 3 - 3 2 x 22 3 d y = 22 - 22 2 x

Integrando o resultado em função de x .

∫ 22 - 22 2 x d x = 22 x - 22 x 2 4

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 22 - 22 2 x d x = 22 2 - 22 2 2 4 - 22 0 - 22 0 2 4

∫ 0 2 22 - 22 2 x d x = 2 22 - 22

∫ 0 2 22 - 22 2 x d x = 22

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

A = 22

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