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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 15

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

15. S é a superfície correspondente à porção do cilindro circular x 2 + y 2 = 1 com altura 4 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos calcular a área da superfície cilíndrica dada por x 2 + y 2 = 1 que está limitada a uma altura 4 .

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas polares... pra isso fazemos x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Portanto, temos que

σ ( θ , z ) = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , z

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a θ ...

σ θ = ∂ r cos ⁡ θ ∂ θ , ∂ r sin ⁡ θ ∂ θ , ∂ z ∂ θ

σ θ = - r sin ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

Agora com relação a z ...

σ z = ∂ r cos ⁡ θ ∂ z , ∂ r sin ⁡ θ ∂ z , ∂ z ∂ z

σ z = 0 , 0 , 1

Calculando o produto vetorial entre σ θ e σ z ...

N → = σ θ × σ z = i j k - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1

N → = r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , 0

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 + 0 2

N → = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

N → = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Novamente fazemos cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

N → = r 2

N → = r

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Não temos nenhuma restrição para θ , então podemos dizer que

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já para z foi dito que a superfície tem altura 4 , logo

0 ≤ z ≤ 4

Dessa forma d A = d θ d z .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 4 ∫ 0 2 π r d θ d z

Pela equação do cilindro x 2 + y 2 = 1 , vemos que r = 1 , logo

∫ 0 4 ∫ 0 2 π 1 d θ d z

Integrando com relação a θ ...

∫ 1 d θ = θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π

Integrando o resultado em função de z .

∫ 2 π d z = 2 π z

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 2 π d z = 8 π

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

A = 8 π

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