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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Integrais de superfície – caso escalar

Seja S a superfície parametrizada por:

ϕ u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ ( v ) , v

u ∈ 0,2

v ∈ 0,2 π

Calcule a integral de superfície:

I = ∬ S   x 2 + y 2 d S

Passo 1

Calculamos o vetor normal e o elemento de área:

d S = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u   d v

Calculando as parciais:

∂ ϕ ∂ u = cos ⁡ v , sen ⁡ ( v ) , 0

∂ ϕ ∂ v = - u sen ⁡ ( v ) , u cos ⁡ v , 1

Fazendo o produto vetorial:

∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v = i j k cos ⁡ v sen ⁡ ( v ) 0 - u   sen ⁡ ( v ) u cos ⁡ v 1

Temos que:

∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v = sen ⁡ ( v ) , - cos ⁡ v , u

Portanto o módulo é:

∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v = 1 + u 2

E segue que o elemento de área é:

d S = 1 + u 2   d u   d v

Passo 2

Plugando na integral os limites de integração e o vetor normal:

I = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π u 1 + u 2   d v d u

Como a função de u não depende de v e vice-versa, separamos as integrais:

I = ∫ 0 2 u 1 + u 2 ∫ 0 2 π d v d u

Integrando em v não tem mistério:

I = 2 π ∫ 0 2 u 1 + u 2 d u

Passo 3

Agora em u fazemos uma substituição simples:

γ = 1 + u 2 → d γ = 2 u d u

d u = d γ 2 u

Plugando na integral, vamos fazer a indefinida:

I * = ∫ u γ d γ 2 u = 1 2 ∫ γ d γ

Integramos:

I * = 1 3 γ 3 2

I * = 1 3 1 + u 2 3 2

Substituindo os valores e plugando de volta na integral (não esquecer de plugar de volta!!) obtemos:

I = 2 π 3 1 + u 2 3 2 0 2

I = 2 π 3 5 3 2 - 1

Resposta

I = 2 π 3 5 3 2 - 1

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