Suponha:

  • Uma superfície S dada por z = 10 - x^2 - y^2, 1 ≤ z ≤ 9
  • γ_1 é a intersecção de S com z = 1
  • gamma_2 é a intersecção de S com z = 9
  • F(x, y, z) = < 3z, 4x, y >
  • F(x, y, z) = < z^2, 2x, -y^3 >

Escolha um dos campos vetoriais para a partir de S, γ1 e γ2 elaborar:

i. um exercício que envolva o cálculo de Trabalho.

Passo 1

Olá meu amigo, espero que continue me achando um amigo depois da questão que preparei para resolvermos hehe. Essa questão é extremamente pessoal, então fique a vontade para olhar nos livros algumas questões sobre Fluxo e apenas mudar a Superfície S, mas eu utilizei um pouco da minha criatividade e trouxe aqui uma para resolvermos juntos.

Primeiro vamos analisar a nossa superfície S.

S é a superfície vermelha que está entre esses 2 planos azuis. É tipo um chapéu de aniversario porem cortado na ponta e ali se colocou um papel plano.

Passo 2

O exercício que iremos criar é o seguinte:

Considere o campo vetorial F x , y , z = ( 3 z ,   4 x , y ) e a superfície S dada por z = 10 - x 2 - y 2 , onde 1 ≤ z ≤ 9 . Calcule o trabalho realizado pelo campo F ao mover uma partícula ao longo da curva γ 1 , que é a intersecção da superfície S com o plano z = 1 , no sentido anti-horario, de ( 1,0 , 1 ) para ( - 1,0 , 1 ) .

Agora é a hora de resolver,

A curva γ 1 é dada por z = 1 , então substituímos z por 1 nas componentes de F:

F x , y , z = 3 z , 4 x , y

F x , y , 1 = 3,4 x , y

A parametrização da curva γ 1 pode ser dada por r 1 t = ( x t ,   y t ,   z t ) onde x t = t , y t = 0 e z t = 1 . Onde o intervalo de t é - 1 ≤ t ≤ 1 .

O trabalho de w 1 é dado por:

W 1 = ∫ γ F ∙ d r 1

= ∫ - 1 1 3,4 t , 0 1,0 , 0 d t

= ∫ - 1 1 3 d t

= 3 - - 3

= 6

Hehe, peguei leve com você, um forte abraço e até uma próxima.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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