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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UTFPR, Londrina, Cálculo 3, Provas de C3 - Prof Marcele Tavares - AV1 - 2023.1, Questão 4.ii

Suponha:

  • Uma superfície S dada por z = 10 - x 2 - y 2 ,   1 ≤ z ≤ 9
  • γ 1 é a intersecção de S com z = 1
  • γ 2 é a intersecção de S com z = 9
  • F x , y , z = < 3 z , 4 x , y >
  • F x , y , z = < z 2 , 2 x , - y 3 >

Escolha um dos campos vetoriais para a partir de S, γ1 e γ2 elaborar:

ii. um exercício que envolva o cálculo de Fluxo.

Passo 1

Olá meu amigo, espero que continue me achando um amigo depois da questão que preparei para resolvermos hehe. Essa questão é extremamente pessoal, então fique a vontade para olhar nos livros algumas questões sobre Fluxo e apenas mudar a Superfície S, mas eu utilizei um pouco da minha criatividade e trouxe aqui uma para resolvermos juntos.

Considere o campo vetorial F x , y , z = ( z 2 , 2 x , - y 3 ) e a superfície S dada por z = 10 - x 2 - y 2 , 1 ≤ z ≤ 9 . Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície S.

Passo 2

Agora é hora de resolver nossa querida questão, o vetor normal a superfície S é dada por n = - 2 x , - 2 y , 1 .

O vetor diferencial de área d S é dado por d S = n | n | d A , onde dA é o diferencial de área no plano xy e a projeção S no plano x , y é um disco de raio 9 - z .

Temos então que o produto escalar F ∙ d S é

z 2 , 2 x , - y 3 ∙ - 2 x , - 2 y , 1 =   - 2 x z 2 - 2 x y 3 + 2 x y

Passo 3

Agora chegou a hora de realizar a integração e aintegral que precisamos resolver é:

Φ = ∫ z = 1 z = 9   ∫ x = - 9 - z x = 9 - z   ∫ y = - 9 - z y = 9 - z   - 2 x z 2 - 2 x y 3 + 2 x y d y d x d z

A integração interna em relação a y:

∫ y = - 9 - z y = 9 - z   - 2 x z 2 - 2 x y 3 + 2 x y d y

- x z 2 y - 1 2 x y 4 + x y 2 y = - 9 - z y = 9 - z

- x z 2 ( 9 - z ) - 1 2 x ( 9 - z ) 4 + x ( 9 - z ) 2 - - x z 2 ( - 9 - z ) - 1 2 x ( - 9 - z ) 4 + x ( - 9 - z ) 2 - x z 2 9 - z - 1 2 x ( 9 - z ) 2 + x ( 9 - z ) + x z 2 9 - z - 1 2 x ( 9 - z ) 2 + x ( 9 - z ) 2 x z 2 9 - z - x ( 9 - z ) 2 + 2 x ( 9 - z )

Integração intermediária em relação a x:

∫ x = - 9 - z x = - z   2 x z 2 9 - z - x ( 9 - z ) 2 + 2 x ( 9 - z ) d x

x z 2 9 - z - 1 3 x ( 9 - z ) 3 + x 2 ( 9 - z ) x = - 9 - z x = 9 - z

z 2 ( 9 - z ) - 1 3 ( 9 - z ) 3 + ( 9 - z ) ( 9 - z ) - z 2 ( 9 - z ) + 1 3 ( 9 - z ) 3 + ( 9 - z ) ( 9 - z ) - 2 3 ( 9 - z ) 3 + 2 ( 9 - z ) 2

Integração interna em relação a z,

∫ z = 1 z = 9   - 2 3 ( 9 - z ) 3 + 2 ( 9 - z ) 2 d z

1 4 ( 9 - z ) 4 - 2 3 1 3 ( 9 - z ) 3 z = 1 z = 9 1 4 ⋅ 0 - 2 3 ⋅ 0 - 1 4 ⋅ 8 4 - 2 3 ⋅ 8 3 1 4 ⋅ 8 4 - 2 3 ⋅ 8 3 4096 4 - 512 3 1024 - 512 3 3072 3

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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