Em cada caso esboce alguma curvas de nível da função z = f(x, y) , de modo a obter uma visualização do seu gráfico.

(i) z = 2x * (x^2 + y^2)^(-1) (j) z = xy

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá duas funções, sendo elas

( i )   z = 2 x ( x 2 + y 2 ) - 1 ( j )   z = x y

precisamos construir curvas de nível para cada função de forma que possamos visualizar o seu gráfico! Para isso, precisamos dar valores z = c , em que c é uma constante real! E, assim vamos montando a superfície desejada! Vamos lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

  z = 2 x ( x 2 + y 2 ) - 1

Se igualarmos a uma constante qualquer, temos que

  c = 2 x ( x 2 + y 2 ) - 1

Vamos multiplicar ambos os lados por x 2 + y 2 , temos que

  c x 2 + c y 2 = 2 x

ou, isolando y 2 , temos que

y 2 = 1 c [ c x 2 - 2 x ] = x 2 - 2 c x

Podemos completar o quadrado para obter

( x - 1 c ) ( x - 1 c ) = x 2 - 2 c x + 1 c 2

Portanto, a nossa função é tal que

y 2 = ( x - 1 c ) 2 - 1 c 2

Ou seja, podemos isolar para obter

c 2 ( x - 1 c ) 2 - c 2 y 2 = 1

Para todo c , temos a equação de uma hipérbole! Portanto, estas são as nossas curvas de nível! Obtendo

e, também

Essa foi a primeira alternativa! Vamos para a próxima agora!

Passo 3

Temos a seguinte função

z = x y

igualando a uma constante c qualquer, temos que

c = x y

Isolando y , obtemos as seguintes relações

y = c x

que resultam na seguinte representação

que tem o seguinte gráfico

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( i )   y 2 = ( x - 1 c ) 2 - 1 c 2 ( j )   y = c x

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