UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 11, Questão 15
Suponha que seja conhecido o gráfico de uma função . Em cada item, descreva como obter o gráfico da função a partir do gráfico da função .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função supostamente conhecida e quer saber como a gente obteria o gráfico de a partir dela. Repare que nós temos constantes sendo adicionadas, multiplicadas ou subtraídas dentro ou fora do argumento da função. Quando isso acontece, existem algumas propriedades que nos ajudam a reconhecer quando o gráfico é expandido, contraído ou deslocado. Olha só:
Então, vamos identificar onde temos deslocamentos horizontais e verticais e onde temos reflexões e expansões no gráfico da função a partir de .
Vamos lá!
Passo 2
Na letra a), temos . Como temos sendo subtraído da função , temos . Então, o gráfico de será deslocado em unidades para baixo (por causa do sinal negativo) para obter o gráfico de .
Passo 3
Na letra b), temos b) . Repare que agora está sendo subtraído dentro do argumento da função, então a gente tem um deslocamento horizontal. Como o sinal é negativo, a gente desloca o gráfico de em unidades para direita para obter o gráfico de .
Passo 4
Na letra c), temos . A gente tá mexendo no argumento da função, então nosso deslocamento é horizontal. Como a gente tem sendo somado no argumento da função, vamos deslocar o gráfico de em unidades para esquerda para obter o gráfico de .
Passo 5
Na letra d), temos . Agora temos sendo somado a função , então nós temos um deslocamento vertical. Como é positivo, nosso gráfico se desloca em unidades para cima.
Passo 6
Na letra e), temos . Repare que a gente tá multiplicando por , quando isso acontece temos o gráfico de sendo refletido em torno do eixo , porque o ponto é substituído pelo ponto .
Passo 7
Na letra f), temos . Repare que agora o argumento da função se tornou negativo, então temos o ponto sendo substituído pelo ponto , e portanto, nossa função é refletida em torno do eixo para obter o gráfico de .
Passo 8
Na letra g), temos . Como a gente tá multiplicando o gráfico de por um fator , nós temos uma expansão vertical desse gráfico. Como , nosso gráfico se expande verticalmente para baixo por um fator .
Passo 9
Na letra h), temos . Nós estamos dividindo por , então nosso gráfico também está sendo comprimido na direção vertical por um fator para obter o gráfico de .
Passo 10
Na letra i), temos . Agora repare que nós temos duas transformações, passa a ser negativo, então ele é refletido em torno do eixo e, em seguida, somamos ao gráfico. Então cada coordenada fica acrescida de unidades e temos um deslocamento de em unidades para cima para obter o gráfico de .
Passo 11
Na letra j), temos . Nosso gráfico agora tá sendo multiplicado por um fator , então temos uma expansão vertical por um fator . E, em seguida, nós subtraímos à função, então deslocamos em unidades para baixo.
Passo 12
Na letra k), temos . Agora temos um deslocamento horizontal, porque estamos mexendo no argumento da função, e ela se desloca unidades para direita. Em seguida, somamos , então temos um deslocamento vertical em unidades para cima.
Passo 13
Na letra l), temos . É bem parecido com o item anterior, só que os sinais mudam, então nós deslocamos em unidades para esquerda. Em seguida, deslocamos verticalmente em unidades para baixo.
Passo 14
Na letra m), temos . Nossa função agora tá sendo multiplicada por um fator , então temos uma expansão vertical por um fator . Em seguida, mexemos no argumento da função, e deslocamos o gráfico horizontalmente em unidade para esquerda. Por fim, subtraímos da função, deslocando o gráfico em unidades para baixo.
Passo 15
Na letra n), temos . Multiplicamos por um fator , então nosso gráfico se expande verticalmente por um fator . Em seguida, somamos , deslocando o gráfico de em unidades para cima.
Passo 16
Na letra o), temos . Nós agora multiplicamos o argumento da função por . Então, a gente comprime horizontalmente o gráfico de por um fator para obter o gráfico de .
Passo 17
Na letra p), temos . Agora nós estamos dividindo os valores de por , então nós expandimos horizontalmente o gráfico de por um fator para obter o gráfico de .
Passo 18
Na letra q), temos . Repare que a gente tá dividindo o argumento da função por , então a função é expandida horizontalmente por um fator . Em seguida, multiplicamos a função por , e temos também uma expansão vertical por um fator para obter o gráfico de .
Passo 19
Na letra r), temos . Então, a gente tem a função modular dentro do argumento. Dessa forma, pela definição de módulo nós temos a reta quando e a reta quando . Então, a parte de cima do gráfico permanece a mesma e a parte de baixo do gráfico é refletida em torno do eixo (porque teríamos embaixo e em cima).
Passo 20
Na letra s), temos . Dessa forma, também pela definição de módulo, temos quando e quando . Sendo assim, a parte do gráfico que tá acima do eixo permanece a mesma, enquanto a parte que tá abaixo do eixo é refletida em torno do eixo .
Passo 21
Na letra t), temos . Que é a união dos dois itens anteriores. Nós temos o gráfico de quando , sendo , que permanece igual. E na parte de baixo quando , temos , então nosso gráfico é refletido em torno do eixo e, em seguida, refletido em torno do eixo .
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉