Considere a região R compreendida entre os gráficos de y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 ,   y = log 4 ⁡ x e y =   - x , sabendo que os vértices da região considerada ocorrem em x =   - 1 ,   x = 1 2 e x = 16 .

a )   Esboce a região R .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho?

Nessa questão recebemos 3 funções que delimitam uma região R .

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y = log 4 ⁡ x y =   - x

Além disso, o enunciado também nos informou os pontos em que ocorrem intersecções dessa curva na região R , ou seja, os vértices de R : x = - 1 ,   x = 1 2 ,   x = 16 .

O nosso objetivo aqui é esboçar a região R .

Pra fazer isso iremos analisar cada um dos pontos de intersecção, pra saber quais curvas se encontram em cada um deles. Assim, saberemos quais curvas delimitam R em um certo intervalo em x .

Após isso, podemos esboçar essas curvas em cada um desses trechos e finalmente esboçar a região. Beleza? Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar analisando os pontos de intersecção.

Em x =   - 1 , quais das curvas se intersectam?

Pra descobrir isso, podemos calcular o valor de cada uma das funções para x =   - 1 . Vamos ter:

y = - - 1 2 17 + 16 ⋅ - 1 17 + 2 = 1 y = log 4 ⁡ - 1 = n ã o   é   d e f i n i d o y = - - 1 = 1

Olha aí, a função y = log 4 ⁡ x sequer é definida em x = - 1 , pois o seu domínio é todo positivo.

Logo, as curvas que se encontram nesses pontos são:

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y =   - x

Assim, significa que no intervalo de x =   - 1 até x = 1 / 2 , as curvas que delimitam a nossa região R são essas duas acima.

Vamos verificar agora em x = 1 2 quais curvas estão se intersectando:

y = - 1 2 2 17 + 16 ⋅ 1 2 17 + 2 > 2 y = log 4 ⁡ 1 / 2 = - 1 2 y = - 1 2 = - 1 2

Agora, em x = 1 / 2 as curvas que estão se intersectando são as duas últimas. Como esse é um vértice intermediário, significa que nesse ponto está havendo uma troca entre as duas curvas que se intersectam. Como assim?

Vimos que de x =   - 1 até x = 1 / 2 as curva que delimitavam R era o polinômio do 2 ° grau e a reta y =   - x . Agora, em x = 1 / 2 teve uma intersecção entre a reta e a curva logarítmica, isso significa que agora a curva logarítmica passará a definir a região R junto com a curva do 2 ° grau.

Isso ocorrerá até o último vértice, que ocorre em x = 16 . Nesse ponto deverá ocorrer outra intersecção entre essas mesmas curvas a fim de fechar a região R . Olha só, quando x = 16 :

y = - 16 2 17 + 16 ⋅ 16 17 + 2 = 2 y = log 4 ⁡ 16 = 2 y = - 16 = - 16

Viramm?

Assim, concluímos que:

1 )   No intervalo x ∈ [ - 1 , 1 2 ] , a região R é delimitada pelas curvas:

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y =   - x

2 ) No intervalo x ∈ [ 1 2 ,   16 ] , a região R é delimitada pelas curvas:

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y = log 4 ⁡ x

Muito bom pessoal!

Passo 3

Agora que já sabemos quais curvas delimitam a região R em cada um dos intervalos, vamos buscar esboçá-las nesse trecho.

Começando pela curva:

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2

Trata-se de uma parábola, com concavidade virada para baixo. Ela estará definindo a região R durante todo o intervalo:

- 1 , 1 2 ∪ 1 2 ,   16

E, como vimos no passo anterior, durante esse intervalo ela é sempre positiva. Então, vamos esboçá-la:

Massa!

Sabemos também que, no intervalo:

- 1 , 1 2

a reta y = - x   delimita inferiormente a região R .

A sua curva é uma reta, que passa pelo ponto ( 0,0 ) , é decrescente, e tem ângulo de 45 ° com o eixo x e y . Assim:

Onde a reta azul é a nossa reta y = - x , e a curva cinza é a parábola que havíamos desenhado anteriormente.

Por fim, no intervalo:

1 2 ,   16

Temos a curva:

y = log 4 ⁡ x

delimitando inferiormente a nossa região R . Trata-se da curva logarítmica mais clássica mesmo. Vamos desenhá-la:

Prontinho galera! Essa é a nossa querida região R .

Eaí, conseguiram entender tudinho? Responde Aí!

Resposta

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