Considere a região de intersecção de x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 com x 2 + y 2 ≤ 2 x . Esboce a região

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essas duas equações aqui

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

x 2 + y 2 ≤ 2 x  

E pediu para não só calcular o volume entre as duas curvas, como também esboçar a região de intersecção.

A resolução ficaria pouco longa, então resolvi dividir em duas partes: nessa primeira parte vamos esboçar essa região, para entender como essas curvas estão dispostas no espaço. Já na parte (ii) vamos calcular o volume!

Mas como fazer isso?

Vamos analisar uma equação e cada vez! Começando pela de cima

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

No espaço tridimensional, quando temos todos os termos ao quadrado, temos uma esfera! E nesse caso repare que queremos a região interna, pois ≤ 4 !

Sendo assim temos uma esfera de raio 2

E a outra equação?

x 2 + y 2 ≤ 2 x  

Precisamos organizar um pouco os termos para ver qual equação temos

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 ≤ 0

x - 1 2 + y 2 ≤ 1

Note que a variável z é livre e as outras têm potência 2 , então temos um cilindro (deslocado nesse caso em x ) e de raio 1

A ideia para ver qual é a região de interseção é juntar esses dois esboços em um só! Note que temos limitação no z por causa da esfera! Se não tivéssemos essa limitação, nossa região seria infinita, porque o cilindro é infinito na direção de z

Bora juntar esses dois esboços?

Passo 2

Temos que em z a limitação é feita através da esfera

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Então temos que - 2 < z < 2

Tranquilo até aqui?

Agora vamos pensar na intersecção das outras curvas. Mas para ver isso, vamos fazer z = 0

x 2 + y 2 ≤ 4

x - 1 2 + y 2 ≤ 1

Queremos a região entre essas duas curvas!

Em coordenadas cilíndricas

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → r 2 + z 2 = 4

x 2 + y 2 = 2 x → r 2 = 2 r c o s θ → r = 2 c o s θ

Então nossa região fica

- 4 - r 2 < z < 4 - r 2

2 c o s θ < r < 2

0 < θ < 2 π

E com a ajuda de um software gráfico temos a intersecção:

E é isso! Agora na parte II vamos calcular o volume dessa intersecção!

Vamos para a próxima parte?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica