Esboce o gráfico da função z = f ( x , y ) .

( g )   f ( x , y ) = x 2 + y 2 ( h )   f ( x , y ) = 16 - x 2 - 16 y 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que esboçar os gráficos das seguintes funções

( g )   f ( x , y ) = x 2 + y 2 ( h )   f ( x , y ) = 16 - x 2 - 16 y 2

esboçar gráficos de funções de várias variáveis não tem uma receitinha de bolo como no caso de uma função de 1 variável! Então, é bastante uma análise de caso a caso! Vem comigo!

Passo 2

A primeira função é tal que

z = f ( x , y ) = x 2 + y 2

Por simplicidade, vamos analisar a função em cada plano. Primeiro, quando y = 0 , temos a definição da função módulo no plano x z

z = x 2 = | x |

quando temos que x = 0 , temos a definição da função módulo, mas agora no plano y z

z = y 2 = | y |

Como informação adicional, as curvas de nível são obtidas fazendo z = c , em que obtemos

c = x 2 + y 2

elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

x 2 + y 2 = c 2

Ou seja, o nosso gráfico tem níveis dados por circunferências de raio, r = c . Sendo assim, podemos visualizar o gráfico como funções módulo rotacionadas ao longo destas circunferências, ou seja, um cone da forma

Essa primeira alternativa é só isso! Vamos para a próxima!

Passo 3

Agora, temos a seguinte função

z = f ( x , y ) = 16 - x 2 - 16 y 2

Elevando ambos as extremidades da equação ao quadrado, temos que

z 2 = 16 - x 2 - 16 y 2

podemos reorganizar alguns termos e obter

z 2 + x 2 + 16 y 2 = 16

dividindo ambos os lados por 16 , temos que

x 2 16 + y 2 + z 2 16 = 1

que é a equação de um elipsóide! O gráfico é então dado por

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica