Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial s t = cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   t , com t ∈ 0 ,   2 π .

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Passo 1

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x t 2 + y t 2 = 1

z t = t

Como x t 2 + y t 2 = c o n s t a n t e , então essa é uma helicoidal cilíndrica.

Passo 2

Avaliar z ' ( t ) :

z ' t = 1 > 0

Logo, a curva “sobe” com o aumento do parâmetro t

Passo 3

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ 0 ,   2 π

s 0 = 1,0 , 0

Passo 4

Esboçar curva:

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica