Esboce o gráfico da função z = f ( x , y ) .

( k )   f ( x , y ) = l o g ( x 2 + y 2 ) ( l )   f ( x , y ) = s e n ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que esboçar os gráficos das seguintes funções

( k )   f ( x , y ) = l o g ( x 2 + y 2 ) ( l )   f ( x , y ) = s e n ( x 2 + y 2 )

esboçar gráficos de funções de várias variáveis não tem uma receitinha de bolo como no caso de uma função de 1 variável! Então, é bastante uma análise de caso a caso! Vem comigo!

Passo 2

A primeira função é tal que

z = f ( x , y ) = l o g ( x 2 + y 2 )

Por simplicidade, vamos analisar a função em cada plano. Primeiro, quando y = 0 , temos a definição da função módulo no plano x z , mas como temos o sinal negativo no expoente, obtemos

z = l o g ( | x | )

quando temos que x = 0 , temos a definição da função módulo, mas agora no plano y z

z = l o g ( | y | )

Ou seja, temos nos planos x y e y z gráficos da função logarítmica, mas, extendida para valores negativos das variáveis x e y , devido ao módulo, ainda tendo uma assíntota na origem. Como informação adicional, as curvas de nível são obtidas fazendo z = c , em que obtemos

c = l o g ( x 2 + y 2 )

aplicando a função exponencial de ambos os lados, obtemos

e c = x 2 + y 2

elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

x 2 + y 2 = e 2 c

Ou seja, o nosso gráfico tem níveis dados por circunferências de raio, r = e c . Sendo assim, podemos visualizar o gráfico como funções l o g ( | x | ) ou l o g ( | y | ) | rotacionadas ao longo destas circunferências, ou seja, temos que

Essa primeira alternativa é só isso! Vamos para a próxima!

Passo 3

Agora, temos a seguinte função

z = f ( x , y ) = s e n ( x 2 + y 2 )

vamos analisar a função nos planos x = 0 e y = 0 , temos duas funções da forma

z = s e n ( x 2 ) e z = s e n ( y 2 )

que são funções da forma

esse gráfico está no plano x z e no plano z y , e, deve ser rotacionado ao longo de curvas de nível da forma

c = s e n ( x 2 + y 2 )

aplicando a função inversa de ambos os lados, temos que

a r c s e n ( c ) = x 2 + y 2

que são circunferências de raio r = a r c s e n ( c ) . Ou seja, temos que

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica