Uma curva polar r = f ( θ ) consiste em todos os pontos P que têm pelo menos uma representação ( r ,   θ ) cujas coordenadas satisfazem a equação. Por exemplo, a curva representada pela equação r = 2 é um círculo de raio 2 e centro na origem. A curva θ = 1 é uma reta que passa na origem com inclinação 1 radiano. Desta forma, esboce a curva polar r = 1 + sin ⁡ ( θ ) . Calcule a inclinação de sua reta tangente quando θ = π 3 . Encontre todos os pontos onde a reta tangente é horizontal e vertical.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma curva polar r = 1 + sin ⁡ ( θ ) e pediu pra gente esboçar essa curva, calcular a inclinação de sua reta tangente quando θ = π 3 e verificar todos os pontos onde a reta essa reta tangente é horizontal e vertical.

Para esboçar a curva polar, vamos primeiro esboçar o gráfico de r = 1 + sin ⁡ ( θ ) em coordenadas cartesianas, em seguida, vamos comparar os valores de r nos intervalos crescentes e decrescentes de θ . Para calcular a inclinação da reta tangente, vamos usar o método para encontrar inclinações de curvas parametrizadas, que nos fornece a equação:

d y d x = d y d θ d x d θ   = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r s in ⁡ θ

Em seguida, aplicamos θ = π 3 para obter a inclinação nesse ponto. Por fim, vamos localizar as tangentes horizontais achando os pontos onde d y d θ = 0 (desde que d x d θ ≠ 0 ) e localizamos as tangentes verticais nos pontos onde d x d θ = 0 (desde que d y d θ ≠ 0 ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar o gráfico da função em coordenadas cartesianas, pelo deslocamento da curva seno em uma unidade para cima:

Isso nos permite ler de uma vez os valores de r que correspondem aos valores crescentes de θ . Por exemplo, vemos que quando θ aumenta de 0 até π 2 , r (a distância a partir da origem) aumenta de 1 até 2 . Assim, esboçamos a parte correspondente da curva por na figura:

Quando θ aumenta de π 2 até π , o gráfico cartesiano mostra que r diminui de 2 até 1 e, dessa forma, esboçamos a outra parte da curva:

Quando θ aumenta de π até 3 π 2 , r diminui de 1 para 0 . Assim:

Finalmente, quando θ aumenta de 3 π 2 até 2 π , r aumenta de 0 para 1 :

Se a gente deixasse θ aumentar além de 2 π ou diminuir além de 0 , simplesmente iríamos traçar novamente essa trajetória. Então, juntando todas as partes, temos o esboço completo dessa curva que é chamada de cardioide, porque tem o formato parecido com o de um coração:

Passo 3

Agora vamos calcular a inclinação da reta tangente de r = 1 + sin ⁡ ( θ ) usando a expressão:

d y d x = d y d θ d x d θ   = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

Derivando em r em relação a θ , temos d r d θ = cos ⁡ θ . Então, substituindo d r d θ e r na expressão, temos:

d y d x = d y d θ d x d θ   = cos ⁡ θ sin ⁡ θ + ( 1 + sin ⁡ θ ) cos ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ - ( 1 + sin ⁡ θ ) sin ⁡ θ

Colocando cos ⁡ θ em evidência no numerador e usando cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ no denominador, encontramos:

d y d x = cos ⁡ θ ( 1 + 2 sin ⁡ θ ) 1 - 2 sin 2 ⁡ θ - sin ⁡ θ

d y d x = cos ⁡ θ ( 1 + 2 sin ⁡ θ ) ( 1 + sin ⁡ θ ) ( 1 - 2 sin ⁡ θ )

Essa é a equação da nossa reta tangente. Em θ = π 3 , temos a inclinação:

d y d x θ = π 3 = cos ⁡ π 3 1 + 2 sin ⁡ π 3 1 + sin ⁡ π 3 1 - 2 sin ⁡ π 3

Como cos ⁡ π 3 = 1 2 e sin ⁡ π 3 = 3 2 , temos:

d y d x θ = π 3 = 1 2 1 + 3 1 + 3 2 1 - 3

Simplificando:

d y d x θ = π 3 = 1 + 3 2 + 3 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = - 1

Passo 4

Para localizar as retas tangentes horizontais vamos fazer d y d θ = 0 . Lembrando que d y d θ = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ . Como calculamos no início do passo 3 , temos:

d y d θ = cos ⁡ θ 1 + 2 sin ⁡ θ = 0

Isso acontece quando θ = π 2 , 3 π 2 , 7 π 6 , 11 π 6 .

Para localizar as retas tangentes verticais vamos fazer d x d θ = 0 . Lembrando que d x d θ = d r d θ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ e nós também já calculamos lá em cima, temos:

d x d θ = 1 + sin ⁡ θ 1 - 2 sin ⁡ θ = 0

Isso acontece quando θ = 3 π 2 , π 6 , 5 π 6 .

Portanto, temos tangentes horizontais nos pontos 2 , π 2 , 1 2 , 7 π 6 , 1 2 , 11 π 6 e tangentes verticais em 3 2 , π 6 e 3 2 , 5 π 6 . Quando θ = 3 π 2 , d y / d θ e d x / d θ são 0 e, dessa forma, temos que ser cuidadosos. Calculando os limites laterais nesse ponto, vemos que a reta tenta a e a - ∞ , portanto, existe uma reta tangente vertical no polo. Podemos ver isso na figura:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d x θ = π 3 = - 1

T a n g e n t e s   h o r i z o n t a i s   n o s   p o n t o s : 2 , π 2 , 1 2 , 7 π 6 , 1 2 , 11 π 6

T a n g e n t e s   v e r t i c a i s   n o s   p o n t o s :   3 2 , π 6 e 3 2 , 5 π 6

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica