Curvas Parametrizadas
Esboce a imagem da curva dada por
Passo 1
Numa parametrização, cada coordenada corresponde a uma dimensão da função no plano cartesiano. A primeira coordenada corresponde à componente , a segunda à componente , a terceira à e assim por diante.
Então, podemos dizer que, a para a curva dada:
Passo 2
Na equação de cima, podemos colocar o em evidência no lado direito, e teremos:
Mas . Então, teremos que:
E ainda temos como simplificar isso! Perceba, quando tivermos algo ao quadrado, e do lado duas vezes esse algo, podemos completar quadrados somando e subtraindo o mesmo número. Fica assim:
E perceba que o termos entre parêntesis vale :
E, por fim, sabemos que . Assim, temos que:
Ou seja, a parte de cima do sistema é , e ele fica:
Passo 3
Legal, agora que temos o em função do , sabemos que a parametrização está sobre a parábola .
Mas e quanto ao ? Ele está em função de , e essa é uma função limitada (ela nunca é menor que e nem maior que ). Então, a expressão para o , dada por:
sempre vai estar entre e , pois, como disse, está entre e (basta subtrair do maior e menor valor assumido por )
Passo 4
Pronto!! Agora sabemos que , e que varia entre e . Logo, a imagem da nossa curva parametrizada é o pedaço da parábola no qual os valores de estão entre e
A parábola deitada é e a faixa são os valores de . A interseção desses dois lugares, é parte da parábola que está dentro da faixa!
Resposta
Parte da parábola dentro da faixa:
