Considere a região R compreendida entre os gráficos de y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 ,   y = log 4 ⁡ x e y =   - x , sabendo que os vértices da região considerada ocorrem em x =   - 1 ,   x = 1 2 e x = 16 .

c )   Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de x .

Passo 1

E aí pessoaaaaal, todos animados pra essa questão? Hahaha

Nessa questão recebemos 3 funções que delimitam uma região R .

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y = log 4 ⁡ x y =   - x

Além disso, o enunciado também nos informou os pontos em que ocorrem intersecções dessa curva na região R , ou seja, os vértices de R : x = - 1 ,   x = 1 2 ,   x = 16 .

Analisando os nossos pontos de intersecção já esboçamos a região R e encontramos:

O objetivo nesse item é representar a área de R por meio de integrais em termos de y .

Beleza pessoal?!

A ideia principal aqui é separarmos o intervalo total em y , que vai de - 1 / 2 até o vértice da parábola, em intervalos que nos permita escolher um par de curvas para o qual a região R está limitada. Aí, fazendo isso, poderemos escrever as áreas de cada um dos trechos como:

A i =   ∫ a b f y - g y d y

Massa! Sacaram a estratégia? Então vamo nessa!

Passo 2

Vamos observar bem a representação gráfica da nossa região R .

Olhando para o eixo y , vemos que ela vai do segundo ponto de intersecção em x , no caso é o ponto 1 2 , - 1 2 , até o vértice da parábola:

- x 2 17 + 16 x 17 + 2

O vértice da parábola é dado por:

y V = - Δ 4 a

Assim:

y V =   - 16 17 2 - 4 ⋅ - 1 17 ⋅ 2 4 ⋅ - 1 17

y V = 5,76

Muito bom!

Portanto, em y nossa região está no intervalo:

- 1 2 ,   5,76

Vamos agora particionar esse intervalo de modo a encontrar uma expressão para a área de cada um deles, assim como comentamos no passo anterior.

Vemos que, em y , as nossas curvas azul ( y = - x ) e laranja ( y = log 4 ⁡ x ) estão limitando R no intervalo:

y ∈ - 1 2 ,   1

Assim, podemos buscar representar esse intervalo através de uma área. Mas, para isso, precisamos escrever x em cada uma dessas curvas como função de y . Assim, na reta:

y = - x

∴ x = - y

Na curva logarítmica:

y = log 4 ⁡ x

∴ x = 4 y

Perfeito! Assim, temos a integral:

A 1 =   ∫ - 1 2 1 4 y - - y d y

Que inclusive, precisa ser escrito nessa ordem no integrando, sempre colocando como positiva a curva mais à direita.

Excelente! A primeira já foi!

Passo 3

Agora vamos escolher outro intervalo seguindo a mesma ideia.

Podemos tomar:

y ∈ [ 1,2 ]

Nesse intervalo, a região é limitada pelas curvas laranja ( y = log 4 ⁡ x ) e cinza y = - x 2 17 + 16 x 17 + 2 .

Novamente, precisamos escrever x como função de y em cada uma das curvas. Então vamos lá.

A primeira curva já fizemos isso no item anterior, e sabemos que:

x = 4 y

Já a segunda curva é uma parábola e vamos ter mais trabalho ☹

Temos:

y = - x 2 17 + 16 x 17 + 2

∴ 17 y =   - x 2 + 16 x + 34

x 2 - 16 x = 34 - 17 y

Vamos então completar quadrados:

x 2 - 16 x + 64 - 64 = 34 - 17 y

Como:

x 2 - 16 x + 64 = x - 8 2

Temos:

x - 8 2 = 98 - 17 y

Daí, isolando x vem:

x =   ± 98 - 17 y + 8

O sinal de ± é porque a parábola tem duas partes, uma à esquerda do vértice e outra à direita do vértice. O sinal de corresponde à parte esquerda. Podemos melhorar essa definição escrevendo:

x =   - 98 - 17 y + 8 ,       y < 5,76 98 - 17 y + 8 ,   y > 5,76

Boaaa! Assim, no intervalo que estamos trabalhando temos a função escrita da primeira forma.

Logo, montando a integral:

A 2 =   ∫ 1 2 4 y - - 98 - 17 y + 8 d y

Perfeito!

Passo 4

Pra finalizar temos apenas o intervalo que é limitado apenas pelos dois ramos da parábola:

y ∈ 2 ; 5,76

Assim, como já vimos que o ramo da esquerda segue a equação:

x = - 98 - 17 y + 8

E que o da direita segue:

x = 98 - 17 y + 8

Vamos ter a seguinte integral:

A 3 =   ∫ 2 5,76 98 - 17 y + 8 - - 98 - 17 y + 8 d y

∴ A 3 =   ∫ 2 5,76 2 ⋅ 98 - 17 y d y  

Excelente!

Juntando as 3 áreas, teremos:

A R = A 1 + A 2 + A 3

∴ A R =   ∫ - 1 2 1 4 y + y d y +   ∫ 1 2 4 y - - 98 - 17 y + 8 d y + ∫ 2 5,76 2 ⋅ 98 - 17 y d y

E é isso aí!!!

Assim, finalizamos mais uma questão!

Muito obrigado pela atenção de todos 😊

Resposta

A R =   ∫ - 1 2 1 4 y + y d y +   ∫ 1 2 4 y - - 98 - 17 y + 8 d y + ∫ 2 5,76 2 ⋅ 98 - 17 y d y

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