Em cada item, uma função f é dada e uma sequência de operações é realizada sobre seu gráfico. Determine a regra de formação da função cujo gráfico é obtido após as operações.

h )   f x = x 2 ;   o gráfico é esticado verticalmente por um fator 2 , transladado 2 unidades para baixo e 3 para a direita.

i )   f x = x ; o gráfico é encolhido verticalmente por um fator 1 / 2 , transladado uma unidade para a esquerda e 3 para cima.

j )   f x = 2 x - 3 ; o gráfico é refletido em relação à reta y = x .  

Passo 1

Faaaala galera, como vocês estão?

Nessa questão precisamos prever a regra de formação de uma função, ou seja, a equaçãozinha mesmo de g ( x ) , quando ela é obtida por algumas operações de translação e reflexão em uma função dada.

Pra fazer isso é bem importante entendermos como um efeito no gráfico de uma função é manifestado matematicamente. Então, bora dar uma revisada:

- Se encolhemos o gráfico de uma função f por um fator k , é porque matematicamente fizemos:

g x = 1 k ⋅ f ( x )

- Se esticamos o gráfico de uma função f por um fator k , é porque matematicamente fizemos;

g x = k ⋅ f ( x )

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra cima, é porque matematicamente fizemos:

g x = f x + k

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra baixo, é porque matematicamente fizemos:

g x = f x - k

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra esquerda, é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( x + k )

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra direita, é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( x - k )

- Se refletimos o gráfico de uma função f em relação ao eixo y , é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( - x )

- Se refletimos o gráfico de uma função f em relação ao eixo y , é porque matematicamente fizemos:

g x =   - f ( x )

Massa! Agora que já demos essa revisada top nos conceitos, vamos analisar cada um dos itens do enunciado 😊

Passo 2

Começando pelo item h ) , temos a função:

f x = x 2

Inicialmente, o gráfico de f foi esticado por um fator 2 . Ou seja:

g x = 2 x 2

Depois o gráfico foi transladado 2 unidades para baixo. Como vimos, isso é equivalente a fazer:

g x = 2 x 2 - 3

E, por fim, o gráfico foi transladado 3 unidades para a direita. Logo, vamos ter;

g x = 2 x - 3 2 - 3

Tudo tranquilo até aqui?

Passo 3

No item i ) , temos a função:

f x = x

O gráfico foi encolhido por um fator 1 2 , ou seja:

g x = 1 2 ⋅ | x |

Depois o gráfico foi transladado uma unidade para a esquerda, então:

g x = 1 2 ⋅ x + 1

E, por fim, o gráfico foi transladado 3 unidades para cima. Logo:

g x = 1 2 ⋅ x + 1 + 3

Muito bomm!

Passo 4

Pra finalizar a questão, temos no item j ) a função:

f x = 2 x - 3

E é falado que o gráfico é refletido em torno da reta y = x .

Putsss, parece complicado né? É o grande desafio da questão haha!

Mas, aqui vai o bizu galera:

- Quando refletimos em torno da reta y = x , precisamos apenas pegar a inversa da função dada. Ou seja, na prática, onde tiver y vamos trocar por x e onde tiver x vamos trocar por y , beleza?

Assim, tínhamos a reta:

y = 2 x - 3

Trocando x por y e vice-versa, ficamos com:

x = 2 y - 3

x + 3 = 2 y

∴ y = g x = 1 2 ( x + 3 )

Prontinho, essa é a função obtida pela reflexão de f ( x ) em torno da reta y = x .

Eaí pessoal, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

h )   g x = 2 x - 3 2 - 3

i )   g x = 1 2 ⋅ x + 1 + 3

j )   g x = 1 2 ( x + 3 )

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