Considere a região R compreendida entre os gráficos de y = - (x^2 / 17) + (16x / 17) + 2, y = log_4(x) e y = -x , sabendo que os vértices da região considerada ocorrem em x = -1, x = 1 / 2 e x = 16 .

b Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de x .

Passo 1

Ooii gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão recebemos 3 funções que delimitam uma região R .

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y = log 4 ⁡ x y =   - x

Além disso, o enunciado também nos informou os pontos em que ocorrem intersecções dessa curva na região R , ou seja, os vértices de R : x = - 1 ,   x = 1 2 ,   x = 16 .

Analisando os nossos pontos de intersecção já esboçamos a região R e encontramos:

O objetivo nesse item é representar a área de R por meio de integrais em termos de x .

Beleza pessoal?!

Pra fazer isso vamos analisar os intervalos:

- 1 , 1 2

E

1 2 ,   16

separadamente, escrevendo a área entre as curvas que delimitam R nesses intervalos através de integrais. É legal revisar a expressão que nos permite calcular a área entre duas curvas em um intervalo [ a , b ] , ela é dada por:

A =   ∫ a b f x - g x d x

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, começando pelo intervalo

- 1 , 1 2

Pela nossa região R , vemos que as funções que delimitam a região nesse intervalo são:

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y =   - x

Usando a expressão que revisamos no passo anterior para o cálculo de áreas entre duas curvas, temos:

A 1 = ∫ - 1 1 2   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 - - x d x

Manipulando um pouco a expressão do integrando, temos:

A 1 = ∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x  

Perfeito! Como queremos apenas representar o cálculo da área, paramos aqui.

Vamos analisar o próximo intervalo.

Passo 3

No segundo intervalo:

1 2 ,   16

Temos que as funções que delimitam a região R são:

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y = log 4 ⁡ x

Logo, usando a mesma ideia do passo anterior, podemos escrever a área de R nesse trecho como:

A 2 =   ∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 + 2 - log 4 ⁡ x d x

Ajeitando um pouquinho essa expressão, temos:

A 2 = ∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x  

Portanto, juntando as duas expressões, temos que:

A R = A 1 + A 2

A R = ∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x + ∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x  

Prontinho! Expressamos a área de R em termos de x .

Valeu pela atenção pessoal 😊

Resposta

A R = ∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x + ∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x

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