Dada a curva Γ definida por r t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t ,   e t ,   t ≥ 0 .

Esboce a curva Γ e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x t 2 + y t 2 = e 2 t

z t = e t > 0

⇒ z t 2 = e 2 t

⇒ x t 2 + y t 2 = z t 2

z t > 0

Logo, essa é uma helicoidal cônica somente na parte superior do cone.

Passo 2

Avalia z ' ( t ) :

Como z ' t = e t > 0 , então o sentido de crescimento do parâmetro t é para cima.

Passo 3

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ R

r 0 = 1,0 , 1

Passo 4

Esboçar curva:

Detalhe que na figura o gráfico tá começando na origem, mas o certo seria começar no ponto 1 ,   0 ,   1 , como vimos no Passo 3. O problema é que é difícil definir o ponto inicial no programa que a gente usa pra fazer gráfico no computador, por isso ficou assim.

Resposta

Observação: início no ponto 1 ,   0 ,   1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica