Nos itens abaixo, o gráfico da função f está em vermelho e o da função g em azul. Encontre a regra de formação de g a partir de f .

c )   f x = | x | .

d )   f x = x .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bom?

Nessa questão precisamos determinar a lei de formação de g sabendo apenas a lei de formação de uma função f , e conhecendo os gráficos de f e g .

A grande ideia aqui é entender quais operações foram realizadas no gráfico de f (reflexão, translação, esticamento) e como essas operações alteram a lei de formação de f . Sabendo disso devemos chegar na lei de formação de g .

Para seguir esse caminho é importante lembrarmos como as alterações no gráfico se manifestam matematicamente, vamo dar uma revisada:

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra cima, é porque matematicamente fizemos:

g x = f x + k

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra baixo, é porque matematicamente fizemos:

g x = f x - k

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra esquerda, é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( x + k )

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra direita, é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( x - k )

- Se refletimos o gráfico de uma função f em relação ao eixo y , é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( - x )

- Se refletimos o gráfico de uma função f em relação ao eixo y , é porque matematicamente fizemos:

g x =   - f ( x )

Massa! Vamos agora analisar cada item individualmente 😊

Passo 2

Começando pelo item c ) , temos a função:

f x = | x |

Cujo gráfico é dado por:

Lembrando que f está em vermelho e g em azul. Pra entender como f foi transladada até chegar em g , podemos comparar o ponto de mínimo dessas funções. Na função g (em azul), o ponto de mínimo foi transladado uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima.

Massa! Então, foi essa a translação sofrida por f . Sabemos que transladar duas unidades para cima, se manifesta matematicamente como:

g x = f x + 2

Mas, como a função resultante também foi transladada uma unidade para a esquerda, vamos ter:

g x = f x + 1 + 2

∴ g x = x + 1 + 2  

Excelente!

Passo 3

Já no item d ) , temos:

f x = | x |

Observando o gráfico dado:

Como o ponto de mínimo coincide, vemos que a curva f (em vermelho) não foi transladada. Aparentemente, uma função está mais esticada do que a outra. Para sabermos qual foi o fator multiplicativo, podemos comparar os resultados para um mesmo valor de x .

Nós vimos no passo 1 que quando esticamos uma função, temos:

g x = k ⋅ f ( x )

Assim, se compararmos g e f em x = 1 , temos:

g 1 = 2

f 1 = 1

Logo:

k = g 1 f 1 = 2

Ou seja, nossa curva g é a função f multiplicada por um fator 2 .

Assim, temos que:

g x = 2 ⋅ f x

⇒ g x = 2 ⋅ | x |

E aí pessoal, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

c )   g x = x + 1 + 2

d )   g x = 2 ⋅ | x |

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