UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 11, Questão 21cd
Nos itens abaixo, o gráfico da função está em vermelho e o da função em azul. Encontre a regra de formação de a partir de .
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Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bom?
Nessa questão precisamos determinar a lei de formação de sabendo apenas a lei de formação de uma função , e conhecendo os gráficos de e .
A grande ideia aqui é entender quais operações foram realizadas no gráfico de (reflexão, translação, esticamento) e como essas operações alteram a lei de formação de . Sabendo disso devemos chegar na lei de formação de .
Para seguir esse caminho é importante lembrarmos como as alterações no gráfico se manifestam matematicamente, vamo dar uma revisada:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra cima, é porque matematicamente fizemos:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra baixo, é porque matematicamente fizemos:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra esquerda, é porque matematicamente fizemos:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra direita, é porque matematicamente fizemos:
- Se refletimos o gráfico de uma função em relação ao eixo , é porque matematicamente fizemos:
- Se refletimos o gráfico de uma função em relação ao eixo , é porque matematicamente fizemos:
Massa! Vamos agora analisar cada item individualmente 😊
Passo 2
Começando pelo item , temos a função:
Cujo gráfico é dado por:
Lembrando que está em vermelho e em azul. Pra entender como foi transladada até chegar em , podemos comparar o ponto de mínimo dessas funções. Na função (em azul), o ponto de mínimo foi transladado uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima.
Massa! Então, foi essa a translação sofrida por . Sabemos que transladar duas unidades para cima, se manifesta matematicamente como:
Mas, como a função resultante também foi transladada uma unidade para a esquerda, vamos ter:
Excelente!
Passo 3
Já no item , temos:
Observando o gráfico dado:
Como o ponto de mínimo coincide, vemos que a curva (em vermelho) não foi transladada. Aparentemente, uma função está mais esticada do que a outra. Para sabermos qual foi o fator multiplicativo, podemos comparar os resultados para um mesmo valor de .
Nós vimos no passo que quando esticamos uma função, temos:
Assim, se compararmos e em , temos:
Logo:
Ou seja, nossa curva é a função multiplicada por um fator .
Assim, temos que:
E aí pessoal, curtiram a solução? Responde Aí!