A função s e n o   h i p e r b ó l i c o é definida como

senh ⁡ x = e x - e - x 2

a ) Calcule senh ⁡ 0 , s en h ⁡ 1 e s en h ⁡ ( - 2 ) .

b ) Qual é o domínio desta função?

c ) Verifique que esta função é ímpar.

d ) Faça o gráfico. Sugestão. Faça o gráfico de e x 2 e e - x 2 e utilize a subtração de gráficos.

Passo 1

Ooi pessoal, como vocês estão?

Nessa questão vamos trabalhar um pouco a definição da função s e n o   h i p e r b ó l i c o .

Como o enunciado nos falou, ela é definida através da função exponencial pela relação:

s en h ⁡ x = e x + e - x 2

Precisaremos calcular o s en h ⁡ x para x = { 0,1 , - 2 } , basicamente iremos substituir x por esses valores dentro da função sen h ⁡ x .

Também iremos determinar o domínio da função s en h ⁡ x .   Aqui a ideia é verificar se há alguma restrição nos reais segundo a lei de formação de s en h ⁡ x .

No item c ) , provaremos que s en h ⁡ x   é uma função ímpar. Para isso, precisamos mostrar que:

s en h ⁡ x = - s en h ⁡ - x

E, por fim, iremos desenhar o gráfico da nossa querida função!

Então vamo nessa!

Passo 2

Começando pelo item a ) , temos que calcular s en h ⁡ 0 , s en h ⁡ 1 e s en h ⁡ ( - 2 ) .

Bora lá, basta substituir x na expressão:

s en h ⁡ x = e x - e - x 2

pelo valor que queremos.

Logo:

s en h ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2

= 1 - 1 2

∴ s e n h   0 = 0

Para s en h ⁡ 1 ,   temos:

s en h ⁡ 1 = e 1 - e - 1 2

Usando a calculadora:

s en h ⁡ 1 = 1 , 175

Por fim:

s en h ⁡ - 2 = e - 2 - e - - 2 2

= e - 2 - e 2 2  

Pela calculadora:

senh ⁡ ( - 2 ) = - 3,62 7

Excelente!

Passo 3

No item b ) precisamos verificar o domínio da função hiperbólica.

Aqui o nosso problema passa por verificar se tem alguma restrição na lei de formação do senh ⁡ x .

Vamos detalhar um pouco mais a fórmula que nos foi dada:

senh ⁡ x = e x - 1 e x 2

A nossa função exponencial possui domínio em todos os reais. Assim, poderíamos ter algum problema no termo:

- 1 e x

Pois, onde e x for 0 teremos uma restrição. Mas, o massa é que a função e x nunca alcança o valor nulo, ela apenas tende a zero quando x → - ∞ .

Logo, o domínio de s e n h   x   é todo o conjunto dos números Reais.

Passo 4

No item c ) devemos verificar se a função é par. Para fazer isso, precisamos verificar se a igualdade abaixo é verdadeira:

senh ⁡ x = - senh ⁡ - x

Vamos partir do lado direito e tentar chegar no lado esquerdo:

s en h ⁡ - x = e - x - e - - x 2

= e - x - e x 2

=   - e x - e - x 2

Mas, a expressão acima é justamente o - s en h ⁡ x . Assim, concluímos que:

s en h ⁡ x = - s en h ⁡ - x

Portanto, de fato a função s e n h é ímpar.

Passo 5

Pra finalizar, no item d ) precisamos desenhar o gráfico de sen h ⁡ x .

Nos é dada a sugestão de montar separadamente os gráficos de e x / 2 e e - x / 2 , e depois subtrai-los.

Então, vamo seguir essa ideia!

Bora dar uma revisada no formato do gráfico de e x :

Para desenhar o gráfico de e x 2 devemos entender que ao multiplicar e x por 1 2 é como se tivéssemos encolhido a curva de e x por esse mesmo fator. Assim, temos o gráfico:

Já no gráfico de e - x / 2 , primeiro multiplicamos o termo x por ( - 1 ) . Isso é equivalente graficamente a refletir a curva de e x com relação ao eixo y . Após essa reflexão o gráfico também foi encolhido pelo fator de 1 / 2 . Assim, temos:

Muito bom! Agora é só fazermos a subtração dos dois gráficos. Vamos ficar com:

Ufaaa! Terminamos essa questão!

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
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Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica