UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 11, Questão 21ef
Nos itens abaixo, o gráfico da função está em vermelho e o da função em azul. Encontre a regra de formação de a partir de .
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Passo 1
Oii galera, tudo bom por aí?
Nessa questão precisamos determinar a lei de formação de sabendo apenas a lei de formação de uma função , e conhecendo os gráficos de e .
A grande ideia aqui é entender quais operações foram realizadas no gráfico de (reflexão, translação, esticamento) e como essas operações alteram a lei de formação de . Sabendo disso devemos chegar na lei de formação de .
Para seguir esse caminho é importante lembrarmos como as alterações no gráfico se manifestam matematicamente, vamo dar uma revisada:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra cima, é porque matematicamente fizemos:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra baixo, é porque matematicamente fizemos:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra esquerda, é porque matematicamente fizemos:
- Se transladamos o gráfico de uma função em unidades pra direita, é porque matematicamente fizemos:
- Se refletimos o gráfico de uma função em relação ao eixo , é porque matematicamente fizemos:
- Se refletimos o gráfico de uma função em relação ao eixo , é porque matematicamente fizemos:
Massa! Vamos agora analisar cada item individualmente 😊
Passo 2
Começando pelo item , temos a função:
Observando o seu gráfico, vamos ter:
Puts, a curva em vermelho é a nossa função . E, a curva em azul é a função . Mas, como sair de e chegar em
Então gente, a primeira coisa que precisamos perceber é que a curva em azul é a curva vermelha refletida com relação ao eixo . Mas, quando fazemos essa reflexão, matematicamente temos:
Porém, vemos também que a raiz de não coincide com a raiz de . Isso porque a curva azul foi transladada duas unidades para a esquerda. Quando ocorre a translação lateral, temos:
Logo:
Muito bom pessoal!
Passo 3
Pra finalizar, no item , temos a função:
Analisando o gráfico dado, temos:
Novamente, a primeira coisa que vemos é que a curva azul está refletida com relação ao eixo .
Assim, temos mais uma vez:
Vemos também que o ponto de mínimo de (curva vermelha) não coincide com o ponto de máximo de (curva azul). Se apenas tivesse ocorrido a reflexão eles deveriam coincidir, o que nos prova que também houve translação.
De fato, esse pontinho de vértice da parábola foi transladado duas unidades para a direita e uma unidade para cima. Assim, pela translação vertical, vamos ter:
E, pela translação lateral vamos ter:
Logo:
Prontinhooo!! É isso aí gente, obrigado pela atenção de vocês!
Até a próxima 😊