Nos itens abaixo, o gráfico da função f está em vermelho e o da função g em azul. Encontre a regra de formação de g a partir de f .

e )   f x = x .

f )   f x = x 2 .

Passo 1

Oii galera, tudo bom por aí?

Nessa questão precisamos determinar a lei de formação de g sabendo apenas a lei de formação de uma função f , e conhecendo os gráficos de f e g .

A grande ideia aqui é entender quais operações foram realizadas no gráfico de f (reflexão, translação, esticamento) e como essas operações alteram a lei de formação de f . Sabendo disso devemos chegar na lei de formação de g .

Para seguir esse caminho é importante lembrarmos como as alterações no gráfico se manifestam matematicamente, vamo dar uma revisada:

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra cima, é porque matematicamente fizemos:

g x = f x + k

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra baixo, é porque matematicamente fizemos:

g x = f x - k

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra esquerda, é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( x + k )

- Se transladamos o gráfico de uma função f em k unidades pra direita, é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( x - k )

- Se refletimos o gráfico de uma função f em relação ao eixo y , é porque matematicamente fizemos:

g x = f ( - x )

- Se refletimos o gráfico de uma função f em relação ao eixo y , é porque matematicamente fizemos:

g x =   - f ( x )

Massa! Vamos agora analisar cada item individualmente 😊

Passo 2

Começando pelo item e ) , temos a função:

f x = x

Observando o seu gráfico, vamos ter:

Puts, a curva em vermelho é a nossa função f . E, a curva em azul é a função g . Mas, como sair de f e chegar em g ?

Então gente, a primeira coisa que precisamos perceber é que a curva em azul é a curva vermelha refletida com relação ao eixo x . Mas, quando fazemos essa reflexão, matematicamente temos:

g x = - 1 ⋅ f ( x )

Porém, vemos também que a raiz de f não coincide com a raiz de g . Isso porque a curva azul foi transladada duas unidades para a esquerda. Quando ocorre a translação lateral, temos:

g x = - 1 ⋅ f ( x + 2 )

Logo:

g x = - 1 ⋅ x + 2

Muito bom pessoal!

Passo 3

Pra finalizar, no item f ) , temos a função:

f x = x 2

Analisando o gráfico dado, temos:

Novamente, a primeira coisa que vemos é que a curva azul está refletida com relação ao eixo x .

Assim, temos mais uma vez:

g x = - 1 ⋅ f x

Vemos também que o ponto de mínimo de f (curva vermelha) não coincide com o ponto de máximo de g (curva azul). Se apenas tivesse ocorrido a reflexão eles deveriam coincidir, o que nos prova que também houve translação.

De fato, esse pontinho de vértice da parábola foi transladado duas unidades para a direita e uma unidade para cima. Assim, pela translação vertical, vamos ter:

g x = - 1 ⋅ f x + 1

E, pela translação lateral vamos ter:

g x = - 1 ⋅ f x - 2 + 1

Logo:

g x = - 1 x - 2 2 + 1

Prontinhooo!! É isso aí gente, obrigado pela atenção de vocês!

Até a próxima 😊

Resposta

e )   g x = - 1 ⋅ x + 2

f )   g x = - 1 ⋅ x - 2 2 + 1

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