Considere a função f: R → R definida por f(x) = x | x | .

c) Esboce os gráficos de f(x) e f'(x) .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos uma função f : ℝ → ℝ , com a definição

f ( x ) = x | x |

precisamos esboçar os gráficos de f ( x ) e f ' ( x ) . Nas alternativas anteriores nós usamos a definição de módulo para mostrar que

f ( x ) = - x 2 se x < 0 e f ( x ) = x 2 se x > 0

e, que

f ' ( x ) = - 2 x se x < 0 e f ( x ) = 2 x se x > 0

Então o esboço deste gráfico requer uma breve análise dos sinais nas funções acima! Saca só!

Passo 2

Note que para x > 0 nossa função é uma parábola que passa pela origem! Da seguinte maneira

mas, note que devemos ter cuidado, pois para x < 0 , temos que a nossa função toma a forma de uma parábola com concavidade para baixo (devido ao sinal negativo na frente) da seguinte maneira

O nosso gráfico da função será a junção de ambas como

Vamos analisar o gráfico da derivada agora! Saca só!

Passo 3

A nossa derivada tem uma análise parecida, mas agora, temos a seguinte expressão

f ' ( x ) = - 2 x se x < 0 e f ( x ) = 2 x se x > 0

é uma reta de inclinação negativa que passa pela origem para x < 0 , e uma reta de inclinação positiva que passa pela origem para x > 0 . No entanto, como para a primeira reta temos que x é sempre negativo, na verdade temos uma reta de inclinação positiva em ambos os casos, nos levando a simplesmente uma reta da forma

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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