Faça o esboço do gráfico da função

f x = x 4 - 2 x 2

destacando informações relacionadas a domínio, continuidade, derivabilidade, interseções com os eixos coordenados, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e extremos locais ou absolutos.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede primeiro para esboçar o gráfico da função x 4 - 2 x 2 .

A partir disso, a questão pede várias informações sobre essa função.

Como são muitas informações, vamos devagarinho para você entender melhor, certinho? 😉

Passo 2

Bom... como se trata de uma função de grau 4, ao descobrir as raízes, encontramos o seguinte gráfico:

Passo 3

Bom... pelo gráfico percebemos que o domínio da função são todos os valores de x em R .

Passo 4

Pelo gráfico percebemos que a função é contínua para todo x em R .

Passo 5

Pelo gráfico percebemos que a função é derivável para todo x em R .

Passo 6

Temos que f x = x 4 - 2 x 2 .

Colocando x 2 em evidência e igualando a função a zero, temos:

x 2 x 2 - 2 = 0 ∴

x = 0

x = - 2

x = 2

Portanto, temos os seguintes pontos de interseção:

0,0 ,   2 , 0 ,   - 2 , 0

Passo 7

Pelo gráfico percebemos que a função não apresenta assíntotas.

Passo 8

Pelo gráfico percebemos que:

  • Pontos de crescimento: ( - 1,0 ) e 1 , ∞ ;
  • Pontos de decrescimento: ( - ∞ , - 1 ) e 0,1 .

Passo 9

Fazendo a derivada segunda, temos:

f ' ' x = 12 x 2 - 4

Em que temos x = ± 3 3 como raízes.

Assim, temos os seguintes pontos de inflexão:

- 3 3 ,   - 5 9 ,   3 3 , -   5 9

Passo 10

Fazendo o estudo do sinal, percebemos que:

Portanto, f ( x ) é côncavo para cima para x < - 3 3 ∪ x > 3 3 e é côncavo para baixo em - 3 3 < x < 3 3 .

Passo 11

Os extremos da função ocorrem nos pontos críticos, onde:

  • Máximo: 0,0
  • Mínimo: ( - 1 , - 1 ) e 1 , - 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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