a) Esboce a região D = { ( x , y ) ∈ R 2 | 1 + x 2 ≤ y ≤ 2 + x 2 ,   y ≥ x + x 2 ,   x ≥ 0 } .

b) Efetuando uma mudança de variáveis apropriada, calcular a integral

∬ D e y - x 2 y - x 2 d x   d y  

Dica: considerar u = y - x 2 e determinar v tal que a mudança de variáveis simplifique o domínio de integração.

Passo 1

Eu prefiro desenhar cada restrição e analisar separadamente:

I )   x ≥ 0 :

Essa aqui é bem de boa, teremos todo o plano onde x é positivo

I I )   y ≤ 2 + x 2 :

Para esse tipo de desigualdade é melhor você analisar como uma igualdade e depois ver a região da desigualdade.

y = 2 + x 2

Como essa é uma equação do segundo grau, não precisamos analisar muita coisa, apenas com alguns passos já conseguimos esboçar a nossa função. O passo a passo normalmente é o seguinte:

1)Encontrar as raizes da função que é onde a função toca nos eixos das abscissas ( x )

2 + x 2 = 0

As raízes serão ± - 2 . Como temos raízes negativas, nossa função não toca no eixo x

2)Econtrar onde a função toca o eixo das ordenadas ( y ) :

Temos que substituir x = 0   na função y = 2 + x 2 . Encontramos assim y = 2

3)Falta agora sabermos a concavidade:

Se o sinal do coeficiente de x 2 for positivo, a concavidade será para cima e nossa função estará feliz ( ∪ )

Se o sinal do coeficiente de x 2 for negativo, a concavidade será para baixo e nossa função vai estar triste ( ∩ )

Pro nosso caso ( + x 2 ), a nossa concavidade será pra cima.

Com esse passo a passo é só marcar o ponto que encontramos: 0,2 , desenhar uma parábola que passe por esses pontos e com a concavidade para cima.

Por fim voltamos para a desigualdade. Como temos uma desigualdade de menor ou igual, a nossa região será os pontos da nossa função e todos os pontos abaixo dela. Assim:

I I I )   y ≥ 1 + x 2 :

Similar ao que fizemos no outro só que agora ele toca o eixo y em y = 1 e a região vai ser acima da nossa função pois temos ali a desigualdade maior ou igual.

I V )   y ≥ x + x 2 :

Vamos pro passo a passo:

1)As raízes da minha equação será: 0 e - 1

2)Ela encontrará o eixo y no ponto ( 0,0 )

3)A concavidade será para cima

Desenhando agora a nossa região:

Juntando agora tudo o que a gente desenhou:

Passo 2

Para finalizar o esboço, só desenhar não é suficiente, devemos marcar os pontos onde as curvas se interceptam

Como só queremos saber onde elas se interceptam, iremos aqui considerar somente as equações:

I )   y = 2 + x 2

I I )   y = 1 + x 2

I I I )   y = x + x 2 :

Igualando I e I I I :

2 + x 2 = x + x 2

x = 2

Substituindo na equação I (poderíamos também substituir na I I I ):

y = 2 + 2 2

y = 6

O ponto de interceptação será então:

( 2,6 )

Igualando agora I I e I I I :

1 + x 2 = x + x 2

x = 1

Substituindo na equação I I (poderíamos também substituir na I I I ):

y = 1 + 1 2

y = 2

O ponto de interceptação será então:

( 1,2 )

Passo 3

Passo 4

Juntando tudo o que fizemos até agora nosso eboço ficará assim:

Passo 5

Resposta

 

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica