a) Esboce a região

b) Efetuando uma mudança de variáveis apropriada, calcular a integral

Dica: considerar e determinar tal que a mudança de variáveis simplifique o domínio de integração.

Eu prefiro desenhar cada restrição e analisar separadamente:

Essa aqui é bem de boa, teremos todo o plano onde x é positivo

:

Para esse tipo de desigualdade é melhor você analisar como uma igualdade e depois ver a região da desigualdade.

Como essa é uma equação do segundo grau, não precisamos analisar muita coisa, apenas com alguns passos já conseguimos esboçar a nossa função. O passo a passo normalmente é o seguinte:

1)Encontrar as raizes da função que é onde a função toca nos eixos das abscissas

As raízes serão . Como temos raízes negativas, nossa função não toca no eixo

2)Econtrar onde a função toca o eixo das ordenadas :

Temos que substituir na função . Encontramos assim

3)Falta agora sabermos a concavidade:

Se o sinal do coeficiente de for positivo, a concavidade será para cima e nossa função estará feliz

Se o sinal do coeficiente de for negativo, a concavidade será para baixo e nossa função vai estar triste

Pro nosso caso ), a nossa concavidade será pra cima.

Com esse passo a passo é só marcar o ponto que encontramos: desenhar uma parábola que passe por esses pontos e com a concavidade para cima.

Por fim voltamos para a desigualdade. Como temos uma desigualdade de menor ou igual, a nossa região será os pontos da nossa função e todos os pontos abaixo dela. Assim:

:

Similar ao que fizemos no outro só que agora ele toca o eixo em e a região vai ser acima da nossa função pois temos ali a desigualdade maior ou igual.

Vamos pro passo a passo:

1)As raízes da minha equação será: e

2)Ela encontrará o eixo no ponto

3)A concavidade será para cima

Desenhando agora a nossa região:

Juntando agora tudo o que a gente desenhou: