Para cada item abaixo, encontre pelo menos duas funções a valores vetoriais r t = ( x t ,   y t ) e s t = ( α t ,   β t ) distintas satisfazendo a equação dada. (Conclui-se, assim, que uma parametrização de uma curva não é única.)

(a) y = x 5 - 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar duas parametrizações para a curva dada, usando o parâmetro t .

Como y está explicitamente em função de x , podemos pensar em uma parametrização explícita para x e assim teremos uma parametrização para y . Além disso, se isolarmos x na função dada, teremos uma função de y e consequentemente uma nova parametrização.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha na nossa curva:

Ela pode ser representa tanto por y = x 5 - 5 quanto por x = y + 5 1 / 5 . Usando a primeira equação, podemos chamar x de t e ganharemos uma parametrização para y . Assim:

x = t

y = t 5 - 5

Então, uma parametrização é dada por:

r → t = t ,   t 5 - 5 ,     t ∈ R

Agora usando a equação na forma x = y + 5 1 / 5 , podemos chamar y de t e teremos:

y = t

x = t + 5 1 / 5

Portanto, outra parametrização para a curva seria dada por:

s → t = t + 5 1 / 5 ,   t ,     t ∈ R

E temos nossas duas parametrizações.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r → t = t ,   t 5 - 5 ,     t ∈ R

s → t = t + 5 1 / 5 ,   t ,     t ∈ R

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