Em cada caso esboce alguma curvas de nível da função z = f(x, y) , de modo a obter uma visualização do seu gráfico.

(c) z = (x^2 + y^2)^(-1) (d) z = log(1 + x^2 + y^2)

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá duas funções, sendo elas

( c )   z = ( x 2 + y 2 ) - 1 ( d )   z = l o g ( 1 + x 2 + y 2 )

precisamos construir curvas de nível para cada função de forma que possamos visualizar o seu gráfico! Para isso, precisamos dar valores z = c , em que c é uma constante real! E, assim vamos montando a superfície desejada! Vamos lá!

Passo 2

Temos primeiro que

  z = x 2 + y 2

Vamos começar com z = c , temos que

c = ( x 2 + y 2 ) - 1

se multiplicarmos os dois lados por x 2 + y 2 e dividirmos por c , temos que

x 2 + y 2 = 1 c

que são circunferências de raio 1 / c . Portanto, teremos curvas de nível da forma

e, o seu gráfico é tal que

Essa é a primeira alternativa! Bora para a próxima!

Passo 3

Temos a seguinte função

z = l o g ( 1 + x 2 + y 2 )

Se igualarmos a uma constante qualquer, temos que

  c = l o g ( 1 + x 2 + y 2 )

temos aqui um logaritmo comum de base 10 , para nos livrarmos dele podemos escrever a seguinte aplicação

1 0 c = 1 0 l o g ( 1 + x 2 + y 2 ) = 1 + x 2 + y 2

Que também são circunferências!! Mas da forma

x 2 + y 2 = 1 0 c - 1

em que r = 1 0 c - 1 , ou seja, temos que 1 0 c > 1 . As curvas de nível são da forma

e, o gráfico é tal que

Maravilha! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( c )   x 2 + y 2 = 1 c ( d )   x 2 + y 2 = 1 0 c - 1

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