UFMG – Cálculo 1 – P2 – 2019.2
Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Essas questões que perguntam sobre “minimizar” ou “maximizar”, tu já pode desconfiar que vai usar aquelas continhas de otimização! Então o primeiro passo que vamos fazer é definir algumas equações que regem esse sistema e encontrar o equação final.
Aproveitando essa questão, uma coisa muito importante aqui é a gente sempre prestar atenção nas unidades que as coisas nos são dadas. Então só pra gente aprender um extra aqui, imagina que ele pede pra gente as dimensões em cm e nos deu volume em m³. Como a gente pode passar cm³ para m³?
Basta lembrar que
Vamos então trabalhar já com cm³ porque isso provavelmente vai nos dar valores mais bonitinhos hehehe
Passo 2
Seja a dimensão do lado do quadrado da base e a altura da caixa, daí, temos que
Agora, vamos escrever uma fórmula para a área da caixa toda, para isso, calcularemos a área da base a a área lateral, daí temos
Daí, a área total da caixa é
Do volume, temos que
Então, substituindo na área, temos
Passo 3
Para encontrar o valor mínimo da área, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí
Igualando a zero
Encontrando
Resposta
A caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a e uma altura .