Uma lata cilíndrica deve ser produzida com volume igual a O custo do material da tampa e da base da lata é de centavos por , enquanto o custo do material da parte lateral é de centavos por . Quais devem ser as dimensões da lata de forma a minimizar os custos?
Passo 1
Nós queremos otimizar essa produção aí, certo? Pensou em otimização ou taxa relacionada, pensou em derivada. Quando você está la no começo da disciplina estudando esboço de gráfico, a gente viu que a primeira derivada igual a zero nos da os máximos e mínimos, certo?
É justamente isso que a gente procura aqui, no caso, o mínimo de custos, ou seja, o mínimo de material a ser usado.
Bom, a área da lata nos é dado por:
Onde é a área das aterais da lara, com sendo o raio da tampa e h a altura da lata. A área da tampa é e do fundo também , somando então .
Bom, para calcular o custo da lata então, Vamos multiplicar pelos custos nos dado no encuniado, ficamos entçao com:
Passo 2
O enunciado nos pede para o volume ser igual a
A fórmula do volume é área da base vezes a altura, logo:
Isolando o h, temos:
Podemos então substituir esse valor de h na nossa função do custo:
Passo 3
Derivando pela regra do quociente teremos:
Passo 4
Para descobrirmos a altura então, simples,emte substituímos esse valor de r que encontramos na formulinha que determinamos pra altura.