UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 14.
Se de um material estiver disponível para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa. Encontre o maior volume possível para a caixa.
Passo 1
Para encontrar o maior volume possível para uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, dado que você tem 1.200 cm² de material disponível, você pode usar cálculo.
Vamos chamar o comprimento do lado da base da caixa de "x" em centímetros.
O volume da caixa (V) é dado pela fórmula:
Como estamos lidando com uma base quadrada, o lado da base é o mesmo em todos os lados, ou seja, x.
Agora, temos que considerar a quantidade de material disponível.
A caixa não tem tampa, então a quantidade total de material usada será a área da base mais a área das quatro laterais.
A área da base é
A área das quatro laterais é , já que há quatro lados idênticos.
Portanto, a área das laterais é
Passo 2
Agora, podemos escrever uma equação que representa a quantidade total de material disponível:
Agora, queremos maximizar o volume (V), que é igual a .
Para fazer isso, precisamos isolar a altura em termos de x na equação acima e, em seguida, substituí-lo na fórmula do volume.
1. Subtrai de ambos os lados da equação:
2. Divida ambos os lados por 4x para isolar a altura:
Passo 3
Agora, podemos substituir esta expressão para altura na fórmula do volume:
Agora, podemos simplificar esta expressão:
Agora, você deseja encontrar o valor de x que maximiza o volume.
Para fazer isso, você pode derivar V em relação a x e encontrar o valor de x que torna a derivada igual a zero. Vamos fazer isso:
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para x:
Neste contexto, o valor negativo de x não faz sentido, pois não pode haver um lado de comprimento negativo. Portanto, x = 20 cm.
Passo 4
Agora que encontramos o valor de x, podemos encontrar a altura correspondente:
Agora que temos o valor de x (20 cm) e a altura (10 cm), podemos calcular o maior volume possível da caixa:
Portanto, o maior volume possível para a caixa é de