UFRJ – Cálculo 1 – Lista 13 – Questão 1
Com que dimensões uma caixa com base quadrada e sem tampa pode ser construída de forma que seu volume seja máximo, utilizando-se de 1200cm² de papelão?
Passo 1
Bem, esse é um problema de otimização, porque toda vez que te perguntarem algo do tipo: ah, calcula o máximo ou mínimo de uma coisa...já tenha sempre em mente: provavelmente isso será um problema de otimização. O primeiro passo é a gente imaginar uma caixa de base quadrada, com lado de tamanho e a altura .
A gente sabe então que a área superficial dessa caixa vai ser dada pela soma da área da base com as áreas dos lados desse caixa, certo?
E a gente sabe que o valor máximo que essa área pode ter é a área disponível de papelão...
Por sua vez, o volume da caixa será dado pelo produto da área da base e sua altura:
Passo 2
Isolando na equação da área, temos:
Vamos agora substituir esse dentro da nossa equação do volume, beleza?
Tá, mais por qual motivo você tá fazendo isso? Lembre-se sempre que nesses tipos de problema a gente sempre ou quase sempre terá uma equação que é aquela que relaciona diretamente o parâmetro que temos interesse em conhecer seu máximo ou mínimo (no nosso caso, o volume) e uma equação de restrição, que no caso é a quantidade de área disponível de papelão. E aí você vai ter que tentar correlacionar essas paradas sempre, a equação “principal” e a restrição.
Passo 3
Passo 4
Agora que temos a nossa equação do volume com a restrição dentro, vamos derivar em função de , afinal foi a única variável que ficou ali. Nos problemas de otimização, para se conhecer o máximo ou mínimo, precisamos igualar a derivada a zero, então vamos fazer isso.
Logo, o volume máximo será: