UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 7
Enche-se de água um reservatório a uma taxa de . O reservatório tem a forma de um
cone circular reto com vértice virado para baixo. O raio da base do cone é de e sua altura
é de . Com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que ?
Passo 1
Vamos resolver o problema usando a derivada implícita da fórmula do volume do cone em relação ao tempo. A fórmula do volume de um cone é onde é o raio da base e é a altura.
Diferenciando ambos os lados da equação em relação ao tempo
Dado que a taxa de enchimento é igual a o raio e a altura , queremos encontrar quando
Substituindo os valores conhecidos e a taxa de enchimento na equação:
Passo 2
Simplificando:
Isolando
Agora, dado que
substituímos esse valor:
Passo 3
Calculando:
Portanto, a velocidade com que o nível da água está subindo no instante em que é de metros por segundo, o que coincide com a resposta fornecida.